La fusée. Second concours, école normale supérieure 2013

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On considère une fusée à un étage de masse variable avec le temps m(t) qui éjecte les gaz
tout au long de la phase du décollage assurant ainsi sa propulsion.
On note Dm= -dm/dt  le débit massique des gaz, supposé constant.
Considérons la fusée aux temps t et t + dt proches, quelconques lors de la phase de décollage.

1 Le système fusée est-il un système ouvert ou fermé ? Justifier.
De la matière quitte la fusée : le système "fusée" est ouvert.
2. En considèrant la fusée à l'instant t = 0, quelle loi fondamentale de la physique explique le décollage ? Détailler la réponse à l'aide d'un schéma approprié.
On fait appelle au principe de l'action et de la réaction.
Au décollage cette réaction ( force propulsive ) doit être supérieure au poids initial Mg de la fusée.
On prendra, dans la suite de l'étude, le système fusée + gaz éjecté.
3. Exprimer la quantité de mouvement au temps t de ce système.
4. Exprimer la vitesse des gaz éjectés selon un observateur du référentiel terrestre.
5. Exprimer alors la quantité de mouvement au temps t+dt de ce système.
6. Montrer que la vitesse de la fusée vérifie l'équation différentielle suivante :
mdv/dt = µvgaz-mg.
( voir schéma ci-dessus)




7. A quelle condition la fusée décolle-t-elle ?
dv/dt >0 c'est à dire Dmvgaz > m0g.
Au décollage cette réaction ( force propulsive ) doit être supérieure au poids initial Mg de la fusée.
8. Définir la force de poussée. Vérifier son homogénéité.
La poussée est définie par :
Dmvgaz .
[Dm] = M T-1 ; [vgaz] = L T-1 ; [
Dmvgaz]=M L T-2, c'est à dire homogène à une force.
9. Etablir l'expression de la vitesse v(t) à l'instant t.
En supposant que le débit des gaz est constant pour que la poussée soit supérieure au poids.
m dv/dt =- vgaz dm/dt -mg.
dv =
- vgaz dm / m -gdt.
Intégrer entre l'instant 0 et t : v =
- vgaz ln(m / m0)  -gt avec m = m0-Dmt.
v =
- vgaz ln(1 -Dmt / m0)  -gt.
10. A quelle condition la vitesse peut-elle atteindre des valeurs élevée ?
La fusée doit emporter beaucoup de combustible et de comburant et le débit de gaz doit être élevé.
11. Aurait-on pu appliquer le même raisonnement au système fusée seul ? Justifier.
Non. La fusée n'est pas animée d'un mouvement rectiligne uniforme par rapport au référentiel terrestre. La fusée n'est pas un référentiel galiléen.







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