Mesure de la distance angulaire entre les deux composantes d'une étoile double. Agrégation 2004


Interférences lumineuses à deux ondes.
On utilise le modèle scalaire de la lumière. Soient s1(M,t) et s2(M,t) les amplitudes de deux ondes monochromatiques synchrones reçues en un point M quelconque du champ d'’interférences :
s1(M,t) = s10 cos (wt+f1) ; s2(M,t) = s20 cos (wt+f2)
Les phases f1 et f2 dépendent de la position du point M.
On admet que l'’intensité lumineuse I(M) mesurée par un détecteur placé en M est proportionnelle à la valeur moyenne temporelle du carré de l’'amplitude de l’'onde reçue en ce point. On a donc :
I1(M) = k <s1(M,t)2> et I2(M) = k <s2(M,t)2>
I(M) = k <s(M,t)2> avec s(M,t) = s1(M,t)+s2(M,t).
Exprimer I1(M) en fonction de (s10)2.
I1(M) = k <s1(M,t)2> =k<s210 cos2 (wt+f1)>= ½k s210.
Donner l’'expression de s(M,t)2, puis celle de I en fonction de I1(M) et I2(M), intensités de chacune des ondes, et du déphasage f = f2 - f1.
s2(M,t) = s210 cos2 (wt+f1) +s220 cos2 (wt+f2) +2s10 s20 cos (wt+f1)cos (wt+f2).
s2(M,t) = s210 cos2 (wt+f1) +s220 cos2 (wt+f2) +s10 s20 cos (2wt+f1+f2)cos (f1-f2).
I(M)=k<s2(M,t)>= ½ ks210 + ½ ks220ks10 s20 <cos (f)>.
I(M)=I1(M) +I2(M) +2(I1(M)I2(M))½<cos (f)>.
À quelle condition observe-t-on des interférences lumineuses en M
Les interférences sont observés si f est constant au cours du temps.
On dit alors que les ondes sont cohérentes.
Que vaut I(M) pour des ondes incohérentes ? Commenter.
<cos (f)> =0 et I(M)=I1(M) +I2(M). Les intensités des sources s'ajoutent en tout point M du champ.
On note I0 la valeur commune à I1(M) et I2(M).
Que vaut I(M) pour des ondes cohérentes ?
I(M)=2I0(M)+2I0(M)<cos (f)> = 2I0(M)(1+<cos (f)>).
Tracer I(M) en fonction du déphasage f dans le cas où I1(M) = I2(M). Pour quelles valeurs de f l’'intensité est-elle maximale ?
L'intensité est maximale pour f = 2 p p avec p entier.


 




Mesure de la distance angulaire entre les deux composantes d’une étoile double.
On réalise l’'expérience des trous de Young, distants de a, en lumière monochromatique. On observe les interférences sur un écran placé dans le plan focal image d’une lentille convergente (L) de distance focale f ’. La source lumineuse qui éclaire les trous de Young est une étoile E1 située à l’infini dans la direction de l’'axe optique de (L), d’'intensité
lumineuse I0. La longueur d’onde de la lumière émise est l.
Faire un schéma représentant les rayons lumineux qui interfèrent en un point M d'’abscisse x de l’'écran.


On utilise la lentille dans les conditions de Gauss. Pourquoi ?
Dans ces conditions, la lentille est stigmatique pour tous les couples de points conjugués.
Calculer la différence de marche en M en fonction de a, x et f ’ , puis l’'intensité lumineuse I1(x) en fonction de I0, l, a, x et f ’.
Pour les petits angles ( conditions de Gauss ), tan q ~sin q ~q radian.
d = aq ; q ~x / f ' ;
d = a x / f ' ; interfrange i = l f ' /a.
I1(x)= 2I0(M)(1+cos (f))=2I0(M)(1+cos (2pd/l))= 2I0(M)(1+cos (2px / i)).

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Une étoile E2 est à l'’infini dans la direction a par rapport à l’'axe optique de (L). L'’angle a est très petit.
Faire un schéma en représentant les rayons lumineux qui interfèrent en un point M d'’abscisse x de l’'écran.

Calculer la différence de marche en M en fonction de a, x, f ’ et a, puis l’'intensité lumineuse I2(x) en fonction de I0, l, a, x, f ’ et a. Commenter le résultat.
Avant les fentes d'Young, la différence de marche est d' = ± a a.
d +d' = a x / f ' ± a a.
I2(x)=2I0(M)(1+cos (2p / l (a x / f ' ± a a)))= 2I0(M)[1+cos (2p a/( l f ' )( ± a f '))].
La figure d'interférences est identique à la précédente, mais décalée  de x0 = ±a f '.
On étudie l’'étoile double δOrionis dont les deux composantes E1 et E2 ont même éclat. E1 et E2 éclairent maintenant le dispositif.
On augmente progressivement la distance séparant les trous d'Young.
Montrer simplement que l'’intensité devient uniforme pour une valeur particulière a1 de a.
On prend l = 550 nm et a1 = 28,4 cm ; calculer a en radians.
I = I1+I2.
On observe le premier brouillage des franges ( intensité uniforme ) pour
x0 = ½ i ; a f ' = ½ i = l f ' /(2a1).
 a  = /(2a1) = 550 10-9 / (2*0,284)=9,68 10-7 rad.




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