Diffusion et spectroscopie Brillouin. Agrégation 2015

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Diffusion Brillouin.
37. On considère une onde acoustique de longueur d'onde l se propageant dans l'eau à la célérité v=1480 m/s. Cette onde peut être décrite en terme de particules, qu'on appelle des phonons.
Par analogie avec le photon, définir la quantité de mouvement et l'énergie d'un phonon. Les calculer pour une onde sonore de fréquence f = 1 kHz. Commenter.
 Le sens de la quantité de mouvement des phonons est le sens de propagation de l'onde; sa norme est p = h / l. L'énergie d'un phonon est e = hn.
l = v / n =1480 /1000 = 1,48 m ; p = 6,63 10-34 / 1,48 =4,48 10-34 kg m s-1.
e =
6,63 10-34 *1000 =6,63 10-31 J.
38. Quelle est la longueur d'onde minimum en dessous de laquelle la notion d'onde acoustique n'a plus de sens ? En déduire l'ordre de grandeur de l'énergie maximum d'u phonon. Comparer avec l'énergie typique d'un photon dans le vide. 
L'onde acoustique a un sens dans les milieux continus. La longueur d'onde sera donc bien supérieure à la distance moyenne entre deux molécules ( 10-10 m).
Pour une longueur d'onde égale à 10-9 m, l'énergie e vaut environ 10-21 J, valeur 100 fois plus faible que l'énergie d'un photon du visible.
On donne  le principe d'une expérience de diffusion Brillouin.

Un faisceau laser incident ( longueur d'onde dans le vide l0, fréquence n ) éclaire une cuve cylindrique remplie de liquide. Les photons incidents subissent des collisions avec les phonons acoustiques correspondant aux fluctuations de densité du liquide. On détecte des photons diffussés, c'est à dire la lumière diffusée ( fréquence n+, dans une direction faisant un angle F avec la direction du faisceau incident.On considère une collision dans un liquide entre un photon incident, de quantité de mouvement P et un phonon de quantité de mouvement p. Lors de cette collision, le phonon disparaît et le photon diffusé acquiert une quantité de mouvement P+.
39. Ecrire la conservation de l'énergie lors de la collision. Que peut-on dire de la variation relative de l'énergie du photon lors de cette collision ?
hn+ = hn + hf ( f : fréquence du phonon ).
L'énergie maximum d'un phonon est 10-21 J ; énergie d'un photon du domaine visible ~10-19 J.
La variation relative de l'énergie du photon est donc faible.
40. Que peut-on dire de la variation relative de la quantité de mouvement du photon ? Ecrire la conservation de la quantité de mouvement et en faire une représsentation graphique. En déduire que p ~ 2P sin(½F).
La quantité de mouvement et l'énergie d'un photon sont proportionnelles. L
a variation relative de la quantité de mouvement du photon est donc faible.

41. On admettra que dans un milieu d'indice n, la quantité de mouvement du photon incident s'écrit :
p = nh / l0. Montrer que le décalage en fréquence dû à la difusion Brillouin est donné par :
n+-n=2n /l0 v sin (½F).
Conservation de l'énergie : hn+=hn = hf ;
n+ - n = f = p v / h  ;
p = 2Psin (½F) =2 h n / c
sin (½F) et c = c0 / n.
n+ - n = n  v / c sin (½F) = n  v  n / c0 sin (½F) = n  v  n / c0 sin (½F) = 2n v / l0 sin (½F).
42. Pourquoi la diffusion Brillouin est-elle qualifiée d'inélastique ? Quel est le décalage en fréquence s'il y a émission et non anihilation d'un phonon au cours de la collision ?
Cette diffusion est dite "inélastique" car la fréquence du photon  incident est modifiée.
Qu'il y ait émission ou anihilation, les calculs sont les mêmes. Dans le cas de l'anihilation le décalage est opposé.
43. Calculer le décalage dans le cas de l'eau à T et P ambiantes pour l0 = 532 nm et pour F = 90°, puis le décalage correspondant en longueur d'onde. La mise en évidence de la diffusion Brillouin vous paraît-il possible avec un spectrophotomètre à réseau ?
n+ - n =2*1,33*1480 / (532 10-9) sin 45 =5,23 109 Hz.
Décalage en longueur d'onde : Dl / l0 = Dn / n ;
 l0-l=
5,23 109 *532 10-9 / (5,64 1014) ~5 10-12 m = 5 10-3 nm.
l0 / (
l0-l) ~532 / 0,005 ~105. Un spectromètre à réseau ne peut pas résoudre un tel décalage.




Principe d'un interféromètre de Perot-Fabry.
Pour analyser le décalage Brillouin, on utilise un interféromètre de Perot-Fabry.  Il est constitué de deux miroirs plans parallèles, semi-réfléchissants, de coefficient de réflexion élévé. On note e la distance entre les miroirs, qui est de l'ordre du centimètre. On assimile l'air à un milieu d'indice 1.

Par commodité, les faisceaux sont représentés inclinés par rapport à la normale aux miroirs, mais ils sont en réalité perpendiculaires aux miroirs. On suppose tout d'abord que le faisceau incident est parfaitement monochromatique de fréquence n.
44. Calculer la différence de phase entre deux rayons sortants successifs. Quel est l'ordre de grandeur de l'ordre d'interférence ?
La différence de phase entre deux rayons sortants successifs est 4p e / l ; il faut prendre en compte  l'aller et retour dans la cavité. L'ordre d'interférence est 2e/l ~0,02 / (532 10-9) ~4 104.
Pour obtenir un spectre avec un Perrot-Fabry, on fait varier e sur une distance de l'ordre du micromètre et on mesure l'intensité transmise It en fonction de e.
45. Pour quelles valeurs de e l'intensité transmise est-elle maximale ?
On admettra que, dès que e ne coïncide pas avec ces valeurs, It(e) est très faible. Représenter, très schématiquement It(e) en fonction de e.
Lorsque l'ordre d'interférence est un entier, It est maximale.
2e/l = k ; e = pl/2 avec p un nombre entier.

On note e0 la distance pour laquelle l'ordre d'interférence pour la fréquence n est p,  et e0+De  la distance pour laquelle l'ordre d'interférence est p+1. Le faisceau incident est maintenant composé de deux raies de fréquences n et n' = n-dn ( dn >0). Les deux raies sont très proches. On note e0+de l'épaiseur pour laquelle l'ordre d'interférence est p pour la fréquence n'.
46. On suppose que de <De. Représenter It en fonction de e pour e0-De < e <e0+De en précisant pour chaque maximum la fréquence et l'ordre correspondant.

En rouge, les pics correspondent à n.
47. Montrer que de /De = dn / ISL où ISL=c/(2e0) est ce qu'on appelle l'intervalle spectral libre de l'interféromètre.
e0 = ½pl ; e0+de = ½pl' ; 
de =½p(l' -l)
Diviser par De =½l :
de /  De = p( l' /l -1).
Or ISL = c /(2e0) =pl / c soit p = ISL c / l.
48. Que se passe-t-il si |d n| > ISL ? Conclure.
Il y a mélange des ordres pour les différentes fréquences.
Pour l'éviter, le domaine de fréquences doit rester inférieur à ISL.









On se place dans les conditions expérimentales de la question 43. le faisceau diffusé contient les raies de diffusion Brillouin n+ et n-, mais il contient aussi la raie à la fréquence initiale n à cause de la diffusion rayleigh qui résulte d'une diffusio élastique.
49. On utilise un Perot-Fabry dont l'ISL vaut 20 GHz. On fait l'expérience à pression et température ambiante. Représenter l'allure de It(e) obtenue en sortie de l'interféromètre en précisant pour chaque maximum la fréquence et l'ordre d'interférence.

50. Pour des raisons pratiques, on utilise un Perot-Fabry d'ISL 4 GHz. représenter à nouveau l'allure It(e).
Les ordres se mélangent.


51. La figure suivante représente deux spectres expérimentaux  obtenus avec un perot-Fabry d'ISL = 4 GHz. Le spectre en trait continu est obtenu à pression et température ambiante. Le second, légèrement décalé est obtenu pour p = -26 MPa et à la même température.
- Pour chaque raie, indiquer la fréquence et l'ordre d'interférence.
- Vérifier que les positions des raies Brillouin à pression ambiante sont cohérentes avec la valeur obtenue à la question 43.
- Estimer la variation de vitesse du son quand la pression passe de 0,1 à -26 MPa.

Le décalage Brillouin est proportionnel à la vitesse du son. -0,1 / 5,25 ~-0,02 (- 2 %).

Equation d'état de l'eau.
En plus de la vitesse du son v obtenue par diffusion Brillouin, on mesure également la masse volumique r à la température T = 23,3°C. A cette  température et sous pression atmosphérique ( 0,101 Mpa), la masse volumique de l'eau vaut 997,5 kg m-3 et la vitesse du son v0 = 1493,5 m /s.

52. Pour des pressions positives et à T = 23,3°C, on trouve que v varie linéairement avec r. Sans mener à bien le calcul, expliquer comment on peut obtenir l'équation d'état P(r) à 23,3°C.  La vitesse du son est donnée par :
Vitesse : v = v0 +k(r-r0).
La compressibilité ( isotherme ou isentropique) s'écrit aussi :


53. En supposant que les relations de la question précédente peuvent extrapolées à pression négative, calculer la vitesse du son pouri r = 985,2 kg m-3. k =3,558 m4 kg-1 s-1.
v = v0 + k(r-r0) =1493,5 +3,558(985,2 -997,5)= 1449,7 m/s.
54. la mesure directe donne v = 1449,9 m/s. Que pensez-vous de la validité de l'équation d'état évoquée à la question 52 ?
L'équation d'état est valide, les deux valeurs sont très proches.



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