Equation différentielle, étude de fonction. Bts chmiste 2014.



Exercice 1.
On considère deux réactions successives : A --> B --> C.
On note x(t ), y(t ) et z(t ) les concentrations en mole par litre des produits A, B et C à l’instant t exprimé en minute. À l’instant t = 0, on a les concentrations initiales : x(0) = a, y(0) = 0 et z(0) = 0 où a est un réel positif.
Les lois de la cinétique chimique montrent que x, y et z sont solutions du système :
 x′ = −kx (1) ; y′ = kx -y (2) ; z' = y (3)
où k désigne une constante réelle strictement positive et différente de 1.
Partie I : Résolution du système.
1. Résoudre l’équation (1). En tenant compte de la condition initiale, en déduire l’expression x(t ).
x (t)=A e-k t avec A une constante.
x (0)=A =a ; x (t)=a e-k t.
2.a. Montrer que l’équation (2) peut s’écrire sous la forme : (E) : y′ +y = kae−k t. (4)
(2) s'écrit : y′ +y =kx ; y′ +y =kae−k t.
2.b. Résoudre l’équation différentielle y′ + y = 0.
y= B e-t avec B une constante.
2. c. Déterminer le réel a tel que la fonction g définie sur [0 ; +oo[ par g (t ) =ae−kt soit une solution particulière de l’équation différentielle (4).
g' = -
ake−k t. Repport dans (4) :
-ake−k t+ae−kt =kae−k1 t.
-ak+a =ka. a =ka(1-k).
2.d. Montrer que : y(t) = ka / (1-k) [e-kt -e-t].
y(t) =
B e-t +½ka e−kt  ; y(0) = 0 = B+ka(1-k) ; B =-ka /(1-k).
y(t) = 
ka /(1-k)[e-kt -e-t].
3. Résoudre l’équation (3). En déduire z(t ) en tenant compte de la condition initiale z(0) = 0.
z' =y =ka /(1-k)[e-kt -e-t].
z = ka /(1-k) [-1 /k e-kt +e-t] +Cste.
z(0)=0 =
ka /(1-k) [1 -1/k ] +Cste ; Cste = a.
z(t) = ka /(1-k) [-1 /k e-kt +e-t] +a.




Partie II. Détermination expérimentale de k.
1. On a obtenu les résultats suivants sur les concentrations du produit A. On pose X = ln x. Compléter la troisième ligne du tableau.
t(min)012345
x(mol/L)30,670,150,030,00730,0015
X1,099-0,400-1,897-3,506-4,920-6,502
2. a. Donner l’équation de la droite de régression de X en t , obtenue par la méthode des moindres carrés, sous la forme X =mt +p. On donnera les valeurs de m et p arrondies à 10−2.
X = -1,52 t+1,11.
b. En déduire une approximation de l’expression x(t ) sous la forme l e µtl et µ sont des constantes.
ln x = ln(-1,52 t+1,11)
x=e1,11  e-1,52t  ; x(t) ~3,03
e-1,52t .
c. Déduire du résultat de la modélisation  une valeur approchée de la constante k à 10−2 près.
x (t)=a e-k t = 3,03 e-1,52t   k = 1,52 min-1.
Partie III.
Dans cette partie, on admet que a = 3 et k = 1,5.
On considère les fonctions x et y définies sur [0 ; +oo[ par :
x(t ) = 3e−1,5t et y(t ) = 9(e−t −e−1,5t ).
1. Calculer y′(t ) et vérifier que y′(t ) peut s’écrire sous la forme y′(t ) = 9e−1,5t (1,5−e0,5t ).
y' = -9
e−t+1,5*9 e−1,5t =-9e−1,5te0,5t +1,5*9 e−1,5t =9e−1,5t (1,5−e0,5t ).
2. Établir que sur [0 ; +oo[, la fonction y admet un maximum M que l’on déterminera à 10−2 près, ainsi que la valeur exacte de l’instant tm tel que y(tm) = M.
Si y' = 0, y présente un extrémum : 0 =
1,5−e0,5tm  ; 0,5 tm = ln1,5 ; tm =0,81 min.
Si t < tm, y' est positive, la fonction y(t) est croissante.
Si t > tm, y' est négative, la fonction y(t) est décroissante. L'extrémum est un maximum.
y(tm) =9( e-0,81-e-1,5*0,81) =9(0,4448-0,297) ; M=1,33.









Exercice 2 . Partie 1 : plan d'expérience.
En vue d'obtenir un rendement optimal en polyester, on réalise un plan d'expériences portant sur trois facteurs : la température, la pression et le pourcentage massique de catalyseur utilisé. Le rendement Y est modélisé par une expresion de la forme :
Y = a0 +a1X1 +a2X2 +a3X3 +e.
On désigne par X1, X2 et X3 les niveaux respectifs de la température, de la pression et du pourcentage massique du catalyseur, avec -1 pour le niveau bas et +1 pour le niveau haut. Les facteurs varient de la façon suivante :

Niveau basNiveau haut
Température (K)423483
Pression ( bar)0,10,5
% massique catalyseur0,51,5
Les 8 expériences réalisées ont donné les résultats suivants :
Expérience12345678
Température423483423483423483423483
Pression0,10,10,50,50,10,10,50,5
Masse de catalyseur0,51,5
Rendement0,750,550,60,80,70,550,450,8
1. Compléter le tableau suivant :
ExpérienceMoyenneX1X2X3Y
1
-1-1-10,75
2
+1-1-10,55
3
-1+1-10,6
4
+1+1-10,8
5
-1-1+10,7
6
+1-1+10,55
7
-1+1+10,45
8
+1+1+10,8
effetsa0a1a2a3
estimation des effets0,650,0250,0125-0,025
Effet global : a0 =(0,75+0,55+0,6+0,8+0,7+0,55+0,45+0,8) / 8 = 0,65.
Effet de la température a1 =(0,55+0,8+0,55+0,8)/4 -0,65 =0,025.
Effet de la pression a2 =(0,6+0,8+0,45+0,8)/4 -0,65 =0,0125.
Effet du catalyseur a3 =(0,7+0,55+0,45+0,8)/4 -0,65 =-0,025.
Y = 0,65 +0,025 X1 +0,0125X2 -0,025 X3 +e.
3. Justifier qu'avec une température de 453 K, une pression de 0,3 bar et un pourcentage massique de catalyseur de 1% le rendement est égal à 0,65.
X1 = 0 ; X2 = 0 ; X3 =0 ; Y = a0 +e = 0,65.
4. Avec une pression de 0,1 bar (X2= -1) et 1% de catalyseur ( X3=0), quelle devrait être la valeur de X1 pour avoir un rendement de 0,65 ? A quelle température en kelvin cela correspond-il ?
0,65 =0,65 +0,025 X1 -0,0125 ; X1 = 0,5 et T = 423 +(483-423)*3 /4 = 468 K.
Partie II. Loi normale.
Le polyester est conditionné dans des récipients. On désigne par X la variable aléatoire qui à chaque récipient associe le volume de son contenu exprimé en cm3. On suppose que X suit la loi normale de moyenne µ et d'écart type s.
1. Dans cette question µ =500, valeur anoncée par le fabricant. Le récipient est conforme au cahier des charges si le volume de son contenu est compris dans l'intervalle [ 495 ; 505 ].
a. Calculer la probabilité qu'un récipient pris au hasard soit conforme quand s = 4.
 p(495 <= X <=505) = p(-5 / 4 <= (X-µ) / s<=5 / 4) = p(-1,25 <= (X-µ) / s <=1,25)
(X-µ) / s suit la loi normale centrée réduite : 2P(1,25)-1.
Les tables donnent 
P(1,25) =0,8944.
Probabilité pour qu'un récipient soit conforme : 2P(1,25)-1 =2*0,8944-1 = 0,7888~0,789.
b. Quelle devrait être la valeur de l'écart type pour que la probabilité d'avoir un récipient conforme soit égale à 0,9 ?
2P((X-µ) / s)-1 =0,9 ; P((X-µ) / s) = 1,9 /2 = 0,95.
Les tables donnent t = 1,645 ;
(X-µ) / s = 1,645 ; s = 5 /1,645 =3,04~3,0.
2. On suppose que s = 4. Le fabricant affirme que µ = 500. On se propose de construire un test bilatéral permettant d'accepter ou de refuser cette hypothèse, avec un seuil de risque de 5 %. On prend pour hypothèse nulle H0  : µ =500 et pour hypothèse alternative H1 : µ diffère de 500.
a. Soit Xmoy la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 récipients prélevés au hasard, associe le volume moyen de leur contenu.
Vérifier que Xmoy suit une loi normale de moyenne µ=500 et d'écart type ' = 0,4.
s' = s / 100½ = 4 / 10 = 0,4.
b. déterminer le réel h tel que, sous l'hypothèse H0 : P(500-h <= Xmoy <= 500+h) =0,95.
P (−h/ s' <=(Xmoy -µ) / s' <= h/ s') =0,95.  2P( h/ s') -1=0,95 ; P( h/ s') =0,975.
Les tables donnent t = 1,96 ; 1,96 = h/ s' ;  h = 1,96*0,4 = 0,784 ~0,8.
c. Enoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
Si la moyenne des contenus de 100 récipients prélevés au hasard appartient à l'intervalle [499,2 ; 500,8 ], H0 est valide, sinon H1 est valide.
d. Pour un échantillon de 100 récipients prélevés au hasard, le volume moyen des contenus est 500,6. Peut-on considérer au risque de 5 % que la moyenne est 500 ?.
Oui, 500,6 appartient à l'intervalle [499,2 ; 500,8 ].


.



  

menu