Probabilité, test d'hypothèse. Bts chmiste 2013.



Exercice 2.
Une usine fabrique, en grande quantité, des plaques de mousse en polyuréthane utilisées pour le garnissage automobile. On étudie leur densité exprimée en kilogramme par mètre cube (kg.m−3).
Dans cet exercice, sauf indication contraire, les résultats seront donnés à 10−2 près.
Partie I.
Une plaque de mousse est conforme, pour la densité, lorsque celle-ci appartient à l’intervalle [41,6 ; 42,4].
1. On note X1 la variable aléatoire qui, à chaque plaque de mousse prélevée au hasard dans la production, associe sa densité. On suppose que X1 suit la loi normale demoyenne 42 et d’écart type s1 = 0,17. Calculer la probabilité qu’une plaque de mousse prélevée au hasard dans la production soit conforme.
 p(41,6 <= X1 <=42,4) = p(-0,4 / 0,17 <= (X1-m) / s1<=0,4 / 0,17) = p(-2,35 <= (X1-m) / s1 <=2,35)
(X1-m) / s1 suit la loi normale centrée réduite : 2P(2,35)-1.
Les tables donnent 
P(2,35) =0,9907.
Probabilité pour qu'une bouteille soit conforme : 2P(2,35)-1 =2*0,9907-1 = 0,9814~0,98.

2. L’entreprise désire améliorer la qualité de la production de ses mousses : elle envisage de modifier le réglage des injecteurs de mousse.
On note D la variable aléatoire qui, à chaque plaque de mousse prélevée dans la production future, associera sa densité. On suppose que la variable aléatoire D suit une loi normale de moyenne 42
et d’écart type s2.
Déterminer 
s2 pour que la probabilité qu’une plaque de mousse prélevée au hasard dans la production future soit conforme pour la densité, soit égale à0,95.
Les tables donnent t = 1,96.
(D-m) / s2 =1,96 ; 0,4 / s2 =1,96 ; s2 =0,4 /1,96 =0,20.
Partie II.
On note E l’évènement : « une plaque de mousse prélevée au hasard dans un stock important a une densité non conforme ». On suppose que P(E) = 0,03 où P(E) désigne la probabilité de l’évènement E.
On prélève au hasard cinq plaques de mousse dans le stock pour vérification de leur densité. Le stock de plaques de mousse est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise.
On considère la variable aléatoire Y1 qui à tout prélèvement de cinq plaques de mousse associe le nombre de plaques demousse de ce prélèvement ayant une densité non conforme.
1. Justifier que la variable aléatoire Y1 suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
Chaque prélèvement  est une épreuve de Bernoulli, avec les deux évènements contraires :
succès : la densité est non conforme  p = 0,03 ;
échec :  la densité est conforme q = 1-p = 0,97.
Cette épreuve est répétée 5 fois ( n = 5 ) et  les épreuves sont indépendantes car le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise. La variable aléatoire Y1 suit une loi binomiale de paramètres n =5 et p=0,03.

2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus une plaque de mousse ait une densité non conforme. On donnera les résultats à 10−3 près.
p(Y1=0) = Cn0 p0 qn = 1*1 *0,975 =0,8587.
p(Y1=1) = Cn1 p1 qn-1 = 5*0,03 *0,974 =0,13280.
p(Y1=0) +p(Y1=1) =0,8587 +0,1328 ~0,991.




Partie III. 
Les plaques de mousse sont commercialisées par lots de 1000.
On prélève au hasard un lot de 1000 plaques de mousse dans un dépôt de l’usine.
On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise de 1000 plaques.
On considère la variable aléatoire Y2 qui, à tout prélèvement de 1000 plaques, associe le nombre de plaques de mousse ayant une densité non conforme.
On admet que la variable aléatoire Y2 suit la loi binomiale de paramètres n = 1000 et p = 0,03.
On décide d’approcher la loi de la variable aléatoire Y2 par une loi normale.
1. On note Z la variable aléatoire suivant cette loi normale. Justifier que les paramètres de cette loi normale sont 30 et 5,39.
n = 1000 ; m = n p = 1000*0,03 = 30 ; s = (npq)½ =(1000*0,03*0,97)½ =5,39.
2. Calculer la probabilité qu’il y ait au plus 25 plaques non conformes dans le lot de 1000 plaques, c’est-a-dire calculer P(Z < 25,5).

P(Z < 25,5) ; p((Z-m) / s <(25,5-30) /5,39) =p((Z-m) / s < -0,835) =1- P(0,835) ;
P(0,835) =0,798 ( lecture des tables ).
P(Z < 25,5)=1-0,798~0,202.









Partie IV .
On se propose de construire un test d’hypothèse unilatéral pour contrôler la densité, exprimée en kilogramme par mètre cube (kg.m−3), des plaques de mousse constituant la commande d’un client. Le client doit pouvoir refuser une commande si la densité des plaques de mousse
est trop faible. Le fournisseur affirme que la densité d des plaques de mousse commercialisées est
supérieure ou égale a 42 kg.m−3. Le seuil de risque  du test est fixé à  0,05.
L’hypothèse nulle est H0 : d = 42.
Un échantillon de n = 100 plaques est prélevé.
On note X la variable aléatoire qui, à chaque plaque de mousse prélevée au hasard dans la livraison, associe sa densité.
La variable aléatoire X suit la loi normale de moyenne inconnue d et d’écart type s = 0,17.
On désigne par X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 100 plaques de mousse prélevée dans la livraison, associe la moyenne des densités de ces plaques (la livraison est assez importante pour que l’on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise).
1. Souhaitant contrôler sa livraison, un client prélève un échantillon de 100 plaques et mesure la densité de chaque plaque. Les résultats obtenus sont placés dans le tableau suivant :
Classe[41,6 ; 41,7][41,7 ; 41,8][41,8 ; 41,9][41,9 ; 42,0][42,0 ; 42,1][42,1 ; 42,2][42,2 ; 42,3]
Effectif85233012166
En supposant que dans chaque classe tous les éléments sont situés au centre, calculer la moyenne des mesures de cet échantillon. On donnera le résultat à 10−2 près.
m =(41,65*8 +41,75*5+41,85*23+41,95*30+42,05*12+42,15*16+42,25*6)/ (8+5+23+30+12+16+6) =41,96.
2. Préciser l’hypothèse alternative notée H1.
 "d diffère de 42".
3. Justifiez que, sous l’hypothèse H0, la loi suivie par la variable aléatoire X est la loi normale de moyenne 42 et d’écart-type 0,017.
 m = 42 ; s = 017 / n½ = 0,17 /10 = 0,017.
4. Déterminer, à 10−3 près, sous l’hypothèse H0 , le nombre réel positif h tel que :
P (42−h < Xmoyen) = 0,95.
Les tables donnent t = 1,65 ; h = 0,017*1,65 = 0,028.
5. Énoncer la règle de décision permettant d’utiliser ce test.
Intervalle de confiance : [42-0,028 ; 42+0,028]= [41,972 : 42,028].
Si la moyenne appartient à cet intervalle, H0 est valide, sinon H1 est valide.
6. Peut-on, en appliquant le test à l’échantillon de la question 1, au risque de 5%, conclure que la livraison est conforme pour la densité ?
La livraison est non conforme, 41,96 n'appartient pas à cet intervalle.


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