Equation différentielle, étude de fonction. Bts chmiste 2015.



Partie 1 : équation différentielle.
Soit le système (S)
avec les conditions initiales x(0) = 1, y(0) = 0 et z(0) = 0.
1. a. Résoudre l’équation (1).
b. En déduire x(t ) en tenant compte de la condition initiale x(0) = 1.
x'+3x=0 ; x = A e-3t avec A une constante.
x(t=0) = 1 = A ; x = e-3t.
2. a. En utilisant l’équation (3), exprimer y en fonction de z et z′ puis en déduire l’expression de y′ en fonction de z′′ et z′.
y = z + z' ; y' = z' +z"
b. En reportant dans l’équation (2) les résultats obtenus dans les questions 1. et 2. a., en déduire que z est solution de l’équation différentielle (E) : z′′ +2z′ = 3e−3t .
z' +z" = 3e-3t -(z+z') +z ; z" +2z' =
3e-3t.
3. a. Résoudre l’équation différentielle z′′ +2z′ = 0.
Equation caractéristique r2+2r=0 ; solution r = 0 et r =-2.
 z= A +B e-2t avec A et B des constantes.
b. Déterminer le réel a tel que la fonction g définie sur l’intervalle [0 ; +oo[ par g (t )=
a e−3t soit une solution de l’équation (E).
g' = -3ae-3t ; g" =9a
e-3t.
(E) s'écrit :
9ae-3t-6ae-3t = 3e−3t ; 3a=3 ; a=1.
c. En déduire les solutions de (E).
Solution générale de (E) = solution générale de
z′′ +2z′ = 0 + solution particulière de (E).
z =
A +B e-2t +e−3t.
4. En utilisant l’équation (3), en déduire l’expression de y(t ) en fonction de A et B.
y = z' + z = -2Be-2t-3e-3t +A+ B e-2t +e−3t.
y = A -B e-2t -2e−3t.
5. En sachant que y(0) = 0 et z(0) = 0, déterminer les constantes A et B. En déduire z(t ) et y(t ).
y(0) =A-B-2 =0 (1) ; z(0) =A+B+1=0 (2).
(1)+(2) donne : 2A-1 =0 soit A = 0,5 ; par suite B = -1,5.
y = 0,5 +1,5 e-2t -2e−3t ; z = 0,5 -1,5 e-2t +e−3t.




Partie II
On considère le schéma réactionnel : A→B⇆C impliquant les produits A, B et C.
On suppose que les fonctions f , g et h qui à l’instant t > 0, exprimé en minute, associent les concentrations [A] de A, [B] de B et [C] de C, exprimées en mole par litre, sont respectivement les fonctions définies par :
f (t ) = e−3t , g (t ) =0,5 +
1,5 e-2t -2e−3t ; h(t) = 0,5 -1,5 e-2t +e−3t.
Les trois courbes C1, C2, C3 tracées ci-dessous sont les représentations graphiques des fonctions f , g et h.









1. a. Calculer f ′(t ).
f '(t) = -3 e-3t.
b. Déterminer le sens de variation de la fonction f . En déduire laquelle des trois courbes représente la fonction f .
e-3t est toujours positif ; f '(t) est toujours négative et la fonction f est décroissante ( courbe C1).
2. a. Calculer l’instant t pour lequel les concentrations des produits A et C sont égales. On donnera une valeur exacte et une valeur de t arrondie à 0,01.
f(t) = h(t) ; e−3t  = 0,5 -1,5 e-2t +e−3t.
0 =
0,5 -1,5 e-2t  ; e-2t   = 1 /3 ; ln (1/3) = -2t ; t = 0,5 ln 3 ~0,55 min.
b. En déduire la courbe qui est la représentation graphique de la fonction h.
C3 et C1 se coupent en un point d'abscisse t ~0,55. C3 est la représentation graphique de h(t).
3. a. Graphiquement, conjecturer la concentration finale du produit C.
[C]finale = 0,5 mol/L.
b. Retrouver le résultat par un calcul de limite.
g (t ) =0,5 +1,5 e-2t -2e−3t.
La limite de e-2t et e-3t est nulle si t est suffisamment grand ( supérieur à 3 min )..
La limite de g(t) est égale à 0,5 si le temps est supérieur à trois minutes.

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