Loi binomiale, loi normale, test. Bts maths groupe C 2014.

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Une société est spécialisée dans la fabrication de bouteilles d’eau plate.
On effectue différents types de tests de contrôle de qualité afin de vérifier que les bouteilles sont conformes aux normes en vigueur.
Partie 1
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Un premier type de test est effectué sur les préformes à l’issue de l’étape 1 de fabrication.
On estime qu’il y a 0,5% des préformes non conformes aux normes établies.
Soit X la variable aléatoire qui, à tout lot de 80 préformes prélevées au hasard dans la production, associe le nombre de préformes non conformes. La production de la société est suffisamment importante pour que ce prélèvement soit assimilé à un tirage avec remise.
1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Chaque prélèvement d’une préforme est une épreuve de Bernoulli, avec les deux
évènements contraires :
succès : une préforme est non conforme p = 0,005 ;
échec :  une préforme est conforme q = 1-p = 0,995.
Cette épreuve est répétée 80 fois ( n = 80 ) et  les épreuves sont indépendantes car le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise. La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n =80 et p=0,005.
2. Calculer la probabilité qu’il y ait une seule préforme non conforme dans un lot de 80.
p(X=1) = Cn1 p q
n-1 = 80 *0,005 *0,99579 = 0,269.
3. Calculer la probabilité qu’il y ait plus d’une préforme non conforme dans un lot de 80.
p(X=0) = Cn0 p0 qn = 1*1 *0,99580 = 0,66964.
1-p(X=1) -p(X=0)=1-0,269-0,66964 =0,061.
Partie 2.
Le four infrarouge se dérègle au cours du temps. Le réglage ne pouvant être corrigé dans l’immédiat, la société désire évaluer les conséquences de ce dysfonctionnement.
Elle décide de relever chaque jour, sur un échantillon, le pourcentage de bouteilles touchées par ce problème. On obtient le tableau suivant :
Jour xi 1 2 3 4 5 6
% bouteilles défectueuses yi 0,8 1,3 1,4 1,7 2,1 2,2
1. Donner une équation de la droite de régression de y en x par laméthode des moindres carrés. (Les coefficients seront arrondis à 10−3).
y = 0,277 x +0,613.
2. On admet que l’évolution du pourcentage de bouteilles défectueuses se poursuit de la même manière dans les jours suivants. Estimer le pourcentage de bouteilles défectueuses produites le neuvième jour.
y = 0,277 *9 +0,613=3,1 %.




Partie 3.
Une série de tests, concernant entre-autres la résistance des bouteilles et l’épaisseur de matériau à utiliser, est effectuée à l’issue de l’étape de soufflage sur des échantillons de 100 bouteilles prélevées au hasard.
Chaque bouteille prélevée est placée sous un plateau de compression. Une force verticale est appliquée avec une vitesse constante provoquant la déformation de la bouteille.
Un dynamomètre permet de mesurer la charge de compression verticale, c’est-àdire l’intensité maximale de la force exercée pendant le test jusqu’à ce que la bouteille se déforme visiblement . Elle est exprimée en Newtons.
On désigne par C la variable aléatoire qui, a toute bouteille prélevées dans la production
associe la charge de compression verticale infligée lors du test. On admet que C suit une loi normale de moyenne m et d’écart type 1.
1. Dans cette question, on suppose que m = 30. Une bouteille est déclarée conformelorsque la charge de compression verticale infligée lors du test est comprises entre 28 et 32 Newtons.
Calculer la probabilité qu’une bouteille prélevée au hasard dans la production soit conforme.

 p(30 <= C <=320) = p(-2 <= (C-m) / s <=2).
(G-m) / s suit la loi normale centrée réduite : 2P(2,0)-1.
Les tables donnent 
P(2,0) =0,9772.
Probabilité pour qu'une bouteille soit conforme : 2P(2,0)-1 =2*0,9772-1 = 0,9544~0,954.









2. Pour des raisons écologiques, la société vient demettre au point un nouveau modèle de bouteille en plastique de plus faible épaisseur. On souhaite tester si les bouteilles sont toujours aussi résistantes.
On construit un test bilatéral de validité d’hypothèse, destiné à savoir si l’on peut considérer, au seuil de 5%, que la charge moyenne de compression verticale sur l’ensemble de la production de bouteilles est égale à 30 Newtons.
Soit C la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 bouteilles de la production, associe la charge moyenne de compression verticale infligée lors du test.
On admet que C suit une loi normale de moyenne m et d’écart-type 0,1.
On choisit l’hypothèse nulle H0 : «m = 30 ».
a. Donner l’hypothèse alternative H1.
" m diffère de 30".
b. Sous l’hypothèse H0 : «m = 30 », calculer le réel a tel que P(30−a <= Cmoyen  <=30+a) = 0,95.
Les tables donnent t = 1,96.
L'intervalle de confiance est donc : [30-1,96 * 0,1 ; 30+1,96*0,1 ] soit [29,80 ; 30,20].
c. Énoncer la règle de décision de ce test.
On détermine la moyenne sur un prélevement de 100 bouteilles dans la production, puis on vérifie que la charge moyenne appartient à l'intervalle [29,80 ; 30,20].
d. On prélève au hasard un échantillon de 100 bouteilles dans la production.
La charge moyenne de compression verticale sur cet échantillon est de 29,4 Newtons.
Peut-on conclure, au seuil de 5%, que la charge moyenne de compression verticale sur l’ensemble de la production de bouteilles est égale à 30
Newtons ?
29,4 n'appartient pas à l'intervalle [29,80 ; 30,20] ; l'hypothèse H0 est rejetée. L'hypothèse H1 est valide.
Au seuil de 5%,  la charge moyenne de compression verticale sur l’ensemble de la production de bouteilles n’est pas égale
à 30 Newtons.


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