Loi normale, test d'hypotèse. Bts maths groupe D 2013.

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Une coopérative est spécialisée dans la récolte de la fleur de sel.
Elle utilise une machine automatique pour remplir des sachets de fleur de sel dont la masse théorique doit être de 250 grammes. Un sachet est dit conforme si sa masse m, exprimée en gramme, vérifie : 240 <= m <= 260.
Les résultats des calculs de probabilité seront arrondis au millième.
Loi normale.
L’étude statistique de la production permet d’admettre que la variable aléatoire M qui mesure, en gramme, la masse d’un sachet suit une loi normale de moyenne µ =250 et d’écart type s = 5,3.
1. On choisit au hasard un sachet dans la production. Calculer la probabilité que le sachet soit conforme.
 p(240 <= M <=260) = p(-10/5,3 <= (M-µ) / s <=10/5,3)=p(-1,89 <= (M-µ) / s <=1,89)
(M-µ) / s suit la loi normale centrée réduite : 2P(1,89)-1.
Les tables donnent 
P(1,89) =0,9703.
Probabilité pour que le flacon soit conforme : 2
P(1,89)-1 =2*0,9703-1 = 0,9406~0,941.
2. a. Calculer P(M >245).
P((M-µ) / s >(245-250) /5,3) ;  P((M-µ) / s >-0,943)  ; P(0,943 )= 0,826.
P(M >245) = 0,826.
b. Un gros client exigeant souhaite qu’au moins trois quarts des sachets qu’il achète aient une masse supérieure à 245 grammes. Sera-t-il satisfait ? Justifier.
P(M >245) > 0,75, le client sera satisfait.

B. Loi binomiale et loi de Poisson.
On considère dans cette partie que la probabilité qu’un sachet ne soit pas conforme est : p = 0,06.
La coopérative constitue des lots de 50 sachets pour la vente et étudie le nombre de sachets non conformes contenus dans un lot.
La production de la coopérative est suffisamment importante pour que l’on puisse assimiler la constitution d’un lot à un tirage au hasard et avec remise de 50 sachets. On note X la variable aléatoire qui associe a chaque lot de 50 sachets le nombre de sachets non conformes de ce lot.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
Chaque prélèvement  est une épreuve de Bernoulli, avec les deux évènements contraires :
succès : le sachet est non conforme  p = 0,06 ;
échec :  le sachet est conforme q = 1-p = 0,94.
Cette épreuve est répétée 50 fois ( n = 50 ) et  les épreuves sont indépendantes car le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise. La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n =50 et p=0,06.

2. Que représente la probabilité P(X = 1) dans le contexte de l’exercice ? Calculer P(X = 1).
P(X=1) : un sachet est non conforme dans un lot de 50 sachets.
P(X=1) =
Cn1 p1 qn-1 = 50*0,06 *0,9449 =0,145.




3. On approche la loi de probabilité de X par une loi de Poisson.
a. Justifier que cette loi de Poisson a pour paramètre l= 3.
l = np = 50*0,06 = 3.
b. On note Y une variable aléatoire qui suit une loi de Poisson de paramètre
l= 3.
En utilisant la variable aléatoire Y , estimer la probabilité qu’il y ait au plus cinq sachets non conformes dans un lot de 50 sachets.
P(Y<=5)=P(k=0) +P(k=1) +P(k=2)+P(k=3) +P(k=4)+P(k=5).
P(Y<=5)=0,050 +0,149 +0,224+0,224+0,168+0,101=0,916.









Test d’hypothèse.
Après la révision annuelle de la machine utilisée pour remplir les sachets de fleur de sel, le responsable qualité de la coopérative veut contrôler la valeur de la masse moyenne m (exprimée en gramme) d’un sachet de fleur de sel.
Il construit pour cela un test d’hypothèse bilatéral au seuil de signification de 5%.
L’hypothèse nulle H0 est : m = 250.
L’hypothèse alternative H1 est : m diffère de 250.
On note M la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 50 sachets prélevés dans la production de la coopérative, associe la masse moyenne (en gramme) d’un sachet de l’échantillon. La production est suffisamment importante pour qu’on puisse assimiler la constitution
d’un échantillon à un tirage au hasard et avec remise de 50 sachets.
On suppose que la variable aléatoire Mmoy suit une loi normale de moyenne m et d’écart type s = 5,3 / 50½ =0,75.
1. Sous l’hypothèse nulle H0, déterminer le nombre réel positif a tel que P (250−a <=Mmoy <= 250+a) = 0,95.
Arrondir au centième.
P (−a/ s <=(Mmoy -m) / s <= a/ s) =0,95.  2P( a/ s) -1=0,95 ; P( a/ s) =0,975.
Les tables donnent t = 1,96 ; 1,96 = a / s ;  a = 1,96*0,75 = 1,47 ~1,5.
2. Énoncer la règle de décision du test.
Intervalle : [ 250-1,5 <=(Mmoy<=251,5 ] = [ 248,5 <=(Mmoy<=251,5 ]
Si la moyenne appartient à cet intervalle, H0 est valide, sinon H1 est valide.
3. On prélève au hasard 50 sachets dans la production.
Les masses en gramme de ces sachets se répartissent de la façon suivante :
masse (g) [236 ; 240] [240 ; 244] [244 ; 248] [248 ; 252] [252 ; 256] [256 ; 260] [260 ; 264]
Nombre de sachets 5 6 9 13 8 7 2

a. En utilisant les centres des intervalles, calculer une valeur approchée dela masse moyenne d’un sachet de cet échantillon.
Mmoyen = (238*5 +242*6+246*9+250*13+254*8+258*7+262*2) / 50=249,36 ~249,4 g.
b.
Quelle va être la conclusion du responsable qualité ?
La moyenne se situe dans l'intervalle [ 248,5 ; 251,5 ]. H0 est valide.


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