Loi normale, test d'hypotèse. Bts maths groupe D 2015.



L’entreprise agroalimentaire Flavornuts fabrique des arômes naturels servant  à l’amélioration
des préparations culinaires pour la pâtisserie ou la cuisine. Elle les conditionne dans des flacons
de 58 mL qu’elle achète à l’entreprise Verremballage, qui conçoit, développe et commercialise
des solutions d’emballages primaires composées de flacons standards.
Partie A :  Etiquetage.

»L’étiquetage des denrées alimentaires préemballées est obligatoire (articles R. 112-1 et suivants du code dela consommation). Certaines mentions sont imposées par la législation, d’autres sont facultatives. Toutes sont fournies par les fabricants, sous leur responsabilité. L’étiquetage est constitué par « les mentions, indications, marques de fabrique ou de commerce, images ou signes se rapportant à une denrée alimentaire et figurant sur tout emballage, document, écriteau, étiquette, bague ou collerette accompagnant ou se référant àa cette denréee alimentaire (article R. 112-1 du code de la consommation). »
Une fois fabriquées, les étiquettes peuvent présenter deux défauts : un défaut du visuel (graphisme,
photo, couleur . . . ) ou l’absence de la date limite de consommation.
On considère les évènements suivants :
A : « la date limite de consommation n’apparaî pas sur l’étiquette ».
 D : « l’étiquette comporte un défaut du visuel » ;
On suppose que les évènements A et D sont indépendants.
On admet que les probabilités des évènements sont : p(A) = 0,01 et p(D) = 0,03.
1. Calculer la probabilité qu’une étiquette prélevée au hasard dans la production présente les deux défauts.
p = p(A)*p(D) =0,01*0,03 = 3 10-4.
2. Calculer la probabilité qu’une étiquette prélevée au hasard dans la production ne présente aucun de ces deux défauts.
q = (1-p(A) )* (1-p(B)) -p = 0,99*0,97 -3 10-4= 0,96.
Partie B : Etude de la contenance.
Dans cette partie, les résultats seront arrondis, si nécessaire, à 10−2 près.
On définit une variable aléatoire V associant à chaque flacon son volume utile exprimé en mL.
On suppose que V suit la loi normale de moyenne m = 58 (valeur annoncée par le fournisseur)
et d’écart type  s =0,04.

Le cahier des charges indique que le flacon est conforme lorsque ce volume appartient à l’intervalle
[57,90 ; 58,10]. On choisit un flacon au hasard dans la production.
1. Déterminer la probabilité pour qu’il soit non conforme.
V suit la loi normale N(m=58, s=0,04).
 p(57,90 <= V <=58,10) = p(-2,5 <= (V-m) / s <=2,5)
(V-m) / s suit la loi normale centrée réduite : 2P(2,5)-1.
Les tables donnent 
P(2,5) =0,9938.
Probabilité pour que le flacon soit conforme : 2P(2,5)-1 =2*0,9938-1 = 0,9876.
Probabilité pour que le flacon soit non conforme : 1-
0,9876 =0,0124 ~0,012.
2. Donner une valeur arrondie au centième du réel h tel que : p (58 − h <=V <= 58 + h) = 0,95.
2P(t)-1 = 0,95 ; P(t) =1,95/2 =0,975.
Les tables donnent t = 1,96.

L'intervalle de confiance est donc : [58-1,96 s ; 58+1,96 s ] soit h = 1,96 s =1,96*0,04 = 0,0784 ~0,078.
La probabilité qu'un flacon ait un volume compris  58-0,078 =57,92 mL et 58 + 0,078 =58,08
mL est 0,95.





Partie C : Test d’hypothèse.
A l’occasion d’une commande, le service contrôle du laboratoire reçoit un lot de flacons. Il
effectue un prélèvement aléatoire de 80 flacons. Les résultats sont consignés dans le tableau :
Volume ( mL) [57,93 ; 57,97 ] [57,97; 58,01 ] [58,01 ; 58,05 ] [58,05 ; 58,09 ] [58,09 ; 58,13 ]
Effectif 2 10 39 21 8
1. Calculer la moyenne Vmoy et l’écart type s de cet échantillon (arrondir le résultat `a 10−3 près)
en faisant l’hypothèse que les valeurs observées sont respectivement celles du centre de chaque classe.
Vmoy = 58,0415 ~58,042 mL. ; s = 0,0361.









2. Construction du test.
Le volume des flacons doit être de 58 mL. On se propose de construire un test d’hypothèse bilatéral au seuil de signification de 5 % pour contrôler, au moment de la livraison, la moyenne µ de l’ensemble des volumes (en mL) des flacons. On note Vmoy la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 80 flacons prélevés au hasard dans l’ensemble de la production, associe la moyenne des volumes.
On considère :
L’hypothèse nulle H0 : µ = 58
 L’hypothèse alternative H1 : µ diffère de 58.
Le seuil de signification est fixé à 0,05.
On admet que, sous l’hypothèse H0,  Vmoy suit la loi normale N (58 ; 0,04 / 80½) = N(58 ; 0,00447).
(a) Parmi les quatre intervalles proposés, lequel utiliseriez-vous pour effectuer le test ? Justifier votre choix.
p (58 − h <=V <= 58 + h) = 0,95.
2P(t)-1 = 0,95 ; P(t) =1,95/2 =0,975.
Les tables donnent t = 1,96.
L'intervalle de confiance est donc : [58-1,96 * 0,04 / 80½ ; 58+1,96* 0,04 / 80½ ].
soit [57,991 ; 58,009]
(b) Enoncer la règle de décision du test.
On détermine la moyenne puis on vérifie que celle-ci appartient à l'intervalle [57,991 ; 58,009].
3. Utilisation du test.
En utilisant les informations recueillies sur l’échantillon de 80 flacons, le service de contrôle acceptera-t-il cette livraison ? Justifier.
Vmoy = 58,042 mL n'appartient à l'intervalle 
[57,991 ; 58,009]. L'hypothèse H0 est rejetée.
 L’hypothèse alternative H1 " µ diffère de 58 " est retenue. Le lot est refusé.
ans


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