Loi binomiale, loi normale, test. Bts maths groupe C 2015.



Dans une société italienne de fabrication de carrelage, on effectue différents types de tests de contrôle de qualité afin de vérifier si le carrelage fabriqué est conforme aux normes en vigueur.
Partie 1.
À l’issue de tests, la société estime qu’il y a 3% de carreaux défectueux dans la production.
Soit X la variable aléatoire qui, à tout lot de 100 carreaux prélevés au hasard dans la production, associe le nombre de carreaux défectueux. La production étant importante, on peut assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise.
1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
Les prélevements sont indépendants et leur nombre est fixé à n =100. La probabilité qu'un carrelage soit non conforme est constante p = 0,03. La probabilité  qu'un carrelage soit conforme est q = 0,97.
X suit la loi binomiale de paramètre n = 100 et p = 0,03.

2. On prélève un lot de 100 carreaux. Déterminer la probabilité qu’il y ait :
a. Deux carreaux défectueux dans un lot.
P(X=2) =C2100 q98 p2 =100*99 /2*0,9798 *0,032 =0,225.
b. Au plus huit carreaux défectueux dans un lot.
P(X=0) + P(X=1) +P(X=2) +P(X=3) + P(X=4) +P(X=5) + P(X=6)+P(X=7)+P(X=8).
P(X=0)=
C0100 q100 p0 =0,97100 = 0,04755.
P(X=1) =C1100 q99 p1 =100*0,9799 *0,03 =0,147.
P(X=2) =C2100 q98 p2 =100*99 /2*0,9798 *0,032 =0,2252.
P(X=3) =C3100 q97 p3 =100*99*98 / (2*3) *0,9797 *0,033 =0,2275.
P(X=4) =C4100 q96 p4 =100*99*98*97/ (2*3*4) *0,9796 *0,034 =0,1706.
P(X=5) =C5100 q95 p5 =100*99*98*97*96/ (2*3*4*5) *0,9795 *0,035 =0,1013.
P(X=6) =C6100 q94 p6 =100*99*98*97*96*95/ (2*3*4*5*6) *0,9794 *0,036 =0,0496.
P(X=7) =C7100 q93 p7 =100*99*98*97*96*95*94/ (2*3*4*5*6*7) *0,9793 *0,037 =0,0206.
P(X=8) =C8100 q92 p8 =100*99*98*97*96*95*94*93/ (2*3*4*5*6*7*8) *0,9792 *0,038 =0,0074.
P(X=0) + P(X=1) +P(X=2) +P(X=3) + P(X=4) +P(X=5) + P(X=6)+P(X=7)+P(X=8)=0,997.
Partie 2.
Un lot de carreaux de la société italienne est livré chez un fournisseur. À l’arrivée, celui-ci constate que certains carreaux présentent des défauts qui peuvent être de deux types :
— premier type de défaut : le carreau a un défaut de fabrication,
— deuxième type de défaut : le carreau a subi des dommages pendant le transport.
Une étude statistique a permis d’établir que dans le lot livré, il y a 5% de carreaux qui ont subi des dommages lors du transport et parmi ceux-ci 20% présentent un défaut de fabrication.
Soit T l’évènement : « le carreau a subi des dommages pendant le transport »,
F l’évènement : « le carreau a un défaut de fabrication ».
On rappelle que 3% des carreaux produits dans la société italienne ont un défaut de fabrication.
Calculer la probabilité qu’un carreau prélevé dans le lot livré ne présente aucun défaut.
Sur 100 carrelages, 5 ont subit des dommages lors du transport et parmi ces 5 carrelages, 2 ont en plus un défaut de fabrication.
Sur 100 carrelages, 3 présentent un défaut de fabrication.
100 -5-1 = 94 carrelages ne présentent aucun défaut. ( 0,94 ).




Partie 3.
La norme DIN 51 130 permet d’évaluer le caractère antidérapant d’un sol.
Après des tests préliminaires servant d’étalonnage, une personne chaussée de chaussures normalisées marche en avant puis en arrière sur un plan incliné recouvert du sol à tester. Le plan est recouvert d’huile et progressivement incliné jusqu’à ce que la personne glisse. Cette méthode détermine ainsi l’angle d’inclinaison maximale qui caractérise la résistance au glissement du revêtement.
La société italienne effectue une série de tests sur les carreaux qu’elle produit, dont celui concernant la résistance au glissement. On désigne par G la variable aléatoire qui, à tout carreau prélevé au hasard dans la production, associe l’angle d’inclinaison maximale qui caractérise la résistance au glissement selon la norme DIN51 130.
On admet que G suit une loi normale d’espérance m et d’écart type s.
1. Dans cette question, on suppose que m = 14,5 et s = 2. Un carreau est classé R10 si l’angle d’inclinaison maximale qui caractérise sa résistance au glissement selon la norme DIN 51 130 est compris entre 10 et 19 degrés.
Calculer la probabilité qu’un carreau prélevé au hasard dans la production soit conforme à la classification R10.
 p(19 <= G <=10) = p(-2,25 <= (G-m) / s <=2,25).
(G-m) / s suit la loi normale centrée réduite : 2P(2,25)-1.
Les tables donnent 
P(2,25) =0,9878.
Probabilité pour qu'un carreau soit conforme : 2P(2,25)-1 =2*0,9878-1 = 0,9756~0,976.
2. Dans cette question, on suppose que m = 14,5 et on cherche à déterminer s.
Déterminer la valeur arrondie à 10−1 près de 
s telle que p(19 <= G <=10) = 0,99.
2P(x)-1 = 0,99  ; P(x) = 0,995, les tables donnent x = 2,575.
(G-m) / s =2,575 ; s =(19-14,5) / 2,575 = 1,747 ~1,7.









3. La société italienne réalise dorénavant un nouveau type de finition sur le carrelage pour lequel elle pense que l’angle d’inclinaison maximale qui caractérise la résistance au glissement sera supérieur à 14,5 °. Elle décide de réaliser un test afin de vérifier la véracité de cette amélioration de la résistance au glissement.
Pour cela, un test unilatéral de validité d’hypothèse est élaboré, destiné à savoir si l’on peut considérer au seuil de 3% que l’angle moyen d’inclinaison maximale sur la nouvelle production de carrelage est strictement supérieur à 14,5 °.
Soit G la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de 100 carrelages de la production, associe la valeur moyenne de l’angle d’inclinaison maximale lors du test. On admet que G suit une loi normale d’espérance m et d’écart type s = 0,2.
On choisit l’hypothèse alternative H1 : «m > 14,5 ».
a. Donner l’hypothèse nulle H0.
H0 : m est inférieur ou égal à 14,5.
b. Déterminer approximativement la valeur de h tel que P(Gmoyen <=h) = 0,97.
p (14,5 − h <=G <= 14,5 + h) = 0,97.
2P(t)-1 = 0,97 ; P(t) =1,975 / 2 =0,9875.
Les tables donnent t = 2,25.
L'intervalle de confiance est donc : [14,5-2,25 * 0,2 ; 14,5+2,25*0,2 ] soit [14,05 ; 14,95].
c. Énoncer la règle de décision de ce test.
On détermine la moyenne sur un prélevement de 100 carreaux dans la production, puis on vérifie que celle-ci appartient à l'intervalle [14,05 ; 14,95].
d. Lors d’un test effectué sur un prélèvement de 100 carreaux dans la production, on obtient les angles d’inclinaison maximale suivants :

Angle
maximal ( °)
101112131415161718
Effectif23514202115155
Moyenne 14,75°. Ecart type 1,83.
Peut-on estimer, au seuil de 3%, que la nouvelle finition améliore l’angle d’inclinaison maximale ?
14,75 est situé dans cet intervalle. L'hypothèse H0 est valide.  La nouvelle finition n'améliore pas la résistance au glissement.
e. Des observations futures prouveront qu’en fait, pour les échantillons de 100 carreaux produits selon le nouveau procédé de finition, la variable G
suit une loi normale d’espérance m = 15 et d’écart-type
s = 0,2.
Dans ces conditions, on obtient : P(Gmoyen) < 14,88) ≈ 0,27. Interpréter ce résultat.
Au seuil de 3 %, sur 100 carreaux, 27 ont un angle d'inclinaison maximal inférieur à 14,88°.
ans


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