Loi binomiale, loi de Poisson. Bts maths groupe B 2014.



Un fournisseur d’accès à Internet étudie les défaillances de son système de transmission par ADSL.
A. Évènements indépendants.
On considère que les défauts d’éligibilité à l’ADSL sont dus à deux causes principales :
— le diamètre des fils de cuivre utilisés entre le central et le domicile de l’abonné est trop faible (inférieur à 0,4 mm) ;
— la distance entre le domicile de l’abonné et le central téléphonique est trop importante.
On considère un abonné pris au hasard dans un département donné. On note A l’évènement « le diamètre des fils de cuivres entre le central et le domicile de cet abonné est trop faible», et B l’évènement « la distance entre le domicile de cet abonné et le central téléphonique est trop importante ».
Une étude statistique permet d’admettre que les probabilités des évènements A et B sont : p(A)= 0,02 et p(B) = 0,085.
On suppose que les évènements A et B sont indépendants.
Calculer la probabilité des deux évènements suivants :
1. E1 : « la ligne téléphonique de l’abonné possède les deux défauts d’éligibilité à l’ADSL ».
Les évenements sont indépendants : p(E1) = p(A) p(B) =0,02 *0,085 = 0,0017.
2. E2 : « la ligne téléphonique de l’abonné possède au moins un des deux défauts d’éligibilité à l’ADSL ».
p(E2) =p(A) +p(B) -p(A) p(B) =0,02 +0,085 -0,0017 =0,1033.
B. Loi binomiale et loi de Poisson.
Les données utilisateur sont transmises par trames de 53 octets.Dans une connexion, on prélève une trame au hasard. La connexion est suffisamment importante pour assimiler ce prélèvement à un tirage au hasard et avec remise de 53 octets parmi l’ensemble des octets transmis lors de la connexion.
On suppose que la probabilité qu’un octet prélevé au hasard dans la connexion contienne une erreur est 0,03. On considère la variable aléatoire X qui, à tout prélèvement de 53 octets ainsi défini, associe le nombre d’octets contenant une erreur.
1. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Chaque prélèvement  est une épreuve de Bernoulli, avec les deux évènements contraires :
succès : un octet contient une erreur p = 0,03 ;
échec :  un octet est conforme q = 1-p = 0,97.
Cette épreuve est répétée 53 fois ( n = 80 ) et  les épreuves sont indépendantes car le prélèvement est assimilé à un tirage avec remise. La variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n =53 et p=0,03.





2. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, aucun octet ne contienne une erreur.
p(X=0) = Cn0 p0 qn = 1*1 *0,9753 =0,199.
3. Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus trois octets contiennent une erreur.
p(X=1) = Cn1 p1 qn-1 = 53*0,03 *0,9752 =0,3262.
p(X=2) = Cn2 p2 qn-2 = 53*52 / 2*0,032 *0,9751 =0,2623.
p(X=3) = Cn3 p3 qn-3 = 53*52*51 / (2*3)*0,033 *0,9750 =0,1379.
p(X=0) + p(X=1) + p(X-2)+p(X=3)=0,926.
4. On considère que la loi suivie par X peut être approchée par une loi de Poisson.
Justifier que le paramètre de cette loi de Poisson est l= 1,59.
On conserve l'espérance l = np = 53*0,03 =1,59.
5. On désigne par Y une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre  
l= 1,59.
Calculer, à l’aide de la calculatrice :
a. P(Y = 0) = e-1,59*1,590 / 0! =0,204.
b. P(Y <=3) =
P(Y = 0) +P(Y = 1) +P(Y = 2) +P(Y = 3).
P(Y =1) =e-1,59*1,591 / 1! =0,3242.
P(Y =2) =e-1,59*1,592 / 2! =0,2578.
P(Y =3) =e-1,59*1,593 / 3! =0,1366.
P(Y <=3) =0,923.









C. Intervalle de confiance.
Dans cette partie, on considère un stock de rouleaux de câbles de cuivre destiné à la livraison à une entreprise d’installation de lignes téléphoniques. On souhaite estimer la fréquence inconnue p des rouleaux de ce stock ayant une section inférieure à 0,4mm.
On prélève un échantillon aléatoire de 100 rouleaux dans ce stock. Ce stock est assez important pour que l’on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de100 rouleaux.
On constate que seuls 4 rouleaux de cet échantillon ont une section inférieure à 0,4 mm.
1. Donner une estimation ponctuelle de la fréquence inconnue p des rouleaux de ce stock ayant une section inférieure à 0,4 mm.
f =4 /100 = 0,04.
2. Soit F la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 100 rouleaux ainsi prélevé dans ce stock, associe la fréquence des rouleaux de cet échantillon ayant une section inférieure à 0,4 mm.
On suppose que F suit la loi normale demoyenne inconnue p et d’écart type [(p(1-p)]½ /10.
a. Déterminer un intervalle de confiance de la fréquence p avec le coefficient de confiance 95%.
s = (0,04*0,96)½/10 =0,0196.
Les tables donnent t = 1,96.
L'intervalle de confiance est donc : [0,04-1,96 * 0,0196 ; 0,04+1,96*0,0196 ] soit [0,0016 ; 0,0784].
b. On considère l’affirmation suivante : « la fréquence p est obligatoirement dans l’intervalle de confiance obtenu à la question 2. a. ».
Cette affirmation est-elle vraie ?
Cette affirmation est fausse. La probabilité que la fréquence soit en dehors de cet intervalle est de 5 %.
ans


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