Equation différentielle, étude d'une fonction. Bts maths groupe B 2015.



Sur une chaîne de montage, une pièce de 10 kg est située sur un plateau. On note f (t) la cote (en mètres) du plateau à l’instant t (en secondes), calculée par rapport au sol.
On suppose que f est une fonction de la variable réelle t définie et deux fois dérivable sur [0, + oo[.
L’objectif de l’exercice est d’étudier f afin de réaliser correctement le transfert de la pièce sur un tapis roulant.

 A :  Résolution d'un équation différentielle.
On considère l’équation différentielle (E) : y " + 5 y ' + 4y = 10 ,
où y est une fonction de la variable réelle x, définie et deux fois dérivable sur [0, + oo[, y ' la fonction dérivée de y et y '' sa fonction dérivée seconde.
1° a) Résoudre dans R l’équation r 2 + 5 r + 4 = 0.
Discriminant D = 52-4*4 = 9 ; D½ = ±3.
r1 = (-5+3) / 2 = -1 ; r2 = (-5-3) / 2 = -4.
b) En déduire les solutions définies sur R de l’équation différentielle (E0) :
y " + 5 y ' + 4y = 0.
y = A e-t +B e-4t avec A et B des constantes.
Un logiciel de calcul formel résout ci-dessous l’équation différentielle (E).
y = A exp-t +B e-4t +2,5.
L’étude du système mécanique montre que f est la solution de l’équation différentielle (E)
vérifiant les conditions initiales f (0) = 5 et f '(0) = – 1. En utilisant le résultat du logiciel, qu’on
ne demande pas de démontrer, déterminer une expression de f (t) en fonction de t.
f(0) = A+B+2,5 = 5 ; A+B = 2,5 (1).
f ' = -A
exp-t -4B e-4t  ; f '(0) = -A-4B = -1 ; A+4B = 1 (2)
(2)-(1) donne : 3B = -1,5 ;B = -0,5. Par suite A = 3.
f(t) = 3
e-t -0,5 e-4t +2,5.

B. Etude d'une fonction.
La courbe C ci-dessous est la représentation graphique, dans un repère orthogonal  de la fonction f définie sur [0, + oo[ par f (t) = 3 e– t – 0,5 e– 4 t + 2,5 .


2. Etude d'une fonction.
1° a) Conjecturer le sens de variation de la fonction f sur l’intervalle [0, +oo[.
Le graphique indique que f est décroissante sur [0 ; +oo[.
b) Un logiciel de calcul formel donne ci-dessous une expression de la dérivée de f.
f '(t) = -e-4t(3e3t-2).
On admet que, pour tout réel t de l’intervalle [0, + oo[, 3 e 3 t – 2 > 0. En utilisant, sans le démontrer, le résultat du logiciel, justifier la conjecture de la question 1° a).
e-4t est positif ; -
e-4t est négatif ; f '(t) est négatif sur [0, + oo[. f(t) est décroissante sur cet intervalle.




Le logiciel de calcul formel permet d’obtenir le développement limité de la fonction f, à l’ordre 2, au voisinage de 0.
b) Donner une équation de la tangente T à la courbe C au point d’abscisse 0.
 y = 5-t.
c) Étudier la position relative de la courbe C et de la tangente T au voisinage du point d’abscisse 0.
Etude du signe de f(t)-y = -2,5 t2 est négatif. T est au dessus de C.
3° a) Déterminer la limite de f(t) lorsque t tend vers l'infini.
e-t et e-4t tendent vers zéro lorsque t tend vers l'infini.
f(t) tend vers 2,5 lorsque t tend vers l'infini.
.
b) Interpréter graphiquement la limite obtenue à la question 3° a) en termes d’asymptote.
La droite d'équation y =2,5 est asymptote à la courbe C.









 C : Transfert de la pièce sur le tapis roulant.
On admet la modélisation selon laquelle la cote f (t) (en mètres) du plateau à l’instant t (en secondes), calculée par rapport au sol, est donnée par la fonction f définie et représentée dans la partie B.
La partie supérieure du tapis roulant est située à 2,5 mètres du sol. La pièce peut être transférée dès qu’elle se situe à un centimètre du tapis roulant.
A partir de quel instant t0 la pièce peut-elle être transférée sur le tapis roulant ?
Pour cette question, on attend une valeur approchée de t0 arrondie au dixième par excès, obtenue à l’aide de la calculatrice, en expliquant la méthode suivie.
La pièce peut être transférée sur le tapis si f(t) = 2,51 soit 3 e-t -0,5 e-4t = 0,01.
Pour t > 4 s, le terme
-0,5 e-4t est négligeable devant 3 e-t ; e-t ~0,01 / 3 soit et ~300 ; t =5,7 s.
L’algorithme suivant affiche les bornes d’un encadrement de t0.
Variables : a, b, m
Initialisation : a prend la valeur 5
b prend la valeur 6
Traitement : Tant que b – a > 0,1
m prend la valeur (a+b) / 2
Si f (m) > 2,51 alors a prend la valeur m
Sinon b prend la valeur m
Fin de Si
Fin de Tant que
Sortie : Afficher a et b
a) Faire tourner cet algorithme « à la main » sur trois étapes en complétant le tableau cidessous.
Etape 1Etape 2Etape 3
a55,55,5
b665,75
b-a10,50,25
m(5+6) / 2 = 5,55,755,625
b) Que peut-on dire de l’amplitude de l’encadrement de t0 fourni par cet algorithme ?
L'amplitude de l'encadrement au bout de 3 étapes est 0,25, valeur supérieure à la condition d'arrêt de la boucle.
ans


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