Probabilités, loi binomiale, loi normale. Bts maths groupe A 2014.



On s’intéresse à un dispositif comportant deux composants électriques A et B montés en parallèle. Si un seul de ces deux composants est défaillant, le dispositif continue à fonctionner.
Partie A.
Dans cette partie, on étudie la durée de vie de ce dispositif. La durée de vie de chaque composant est une variable aléatoire.
1. On désigne par t un nombre réel strictement positif. On admet que la probabilité p(t ) que le composant A ait une durée de vie strictement inférieure à t est donnée par la relation suivante.
Calculer la probabilité, arrondie à 10−2, que le composant A ait une durée de vie strictement inférieure à 1 000 heures.

2. Sur le document réponse 2 est donné l’arbre pondéré décrivant la situation du dispositif au bout de 1 000 heures.
C1 désigne l’événement « le composant A est en état de fonctionnement » et C2 désigne l’événement « le composant B est en état de fonctionnement ».
(a) Compléter l’arbre du document réponse 2 et indiquer le détail des calculs des probabilités dans la colonne « Probabilités ».

(b) Déterminer la probabilité de l’événement C2.
p(C2)=0,2211 +0,4489 =0,67.
(c) Les événements C1 et C2 sont indépendants ? Justifier la réponse.

(d) Calculer la probabilité, arrondie à 10−2, qu’au bout de 1 000 heures, le dispositif soit en état de fonctionnement.

Le dispositif ne fonctinne pas si les deux composants A et B sonr défaillants.
1-0,1089 =0,8911 ~0,89.




Partie B.
Dans cette partie, les résultats approchés seront arrondis à 10−3 près.
Une entreprise produit en grande série le composant A dont il est question dans la partie A. Une étude statistique permet d’admettre que la probabilité qu’un composant ait une durée de vie supérieure à 1 000 heures est 0,67. Les durées de vie des composants sont indépendantes les unes des autres. Pour un échantillon de 50 composants, on note X la variable aléatoire égale au nombre de composants ayant une durée de vie supérieure à 1 000 heures.
1. On admet que X suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi.
n = 50 ; p = 0,67 ; q = 0,33.
2. Calculer la probabilité p(X = 42).
p(X=42) = C4250 p42 q50-42 =0,00374.
3. Ci-dessous est donné un extrait du tableau, obtenu à l’aide d’un tableur, donnant les valeurs des probabilités p(X <=k), où k désigne un nombre entier naturel appartenant à l’intervalle [0 ; 50].
À l’aide de ce tableau, déterminer la probabilité que le nombre de composants ayant une durée de vie supérieure à 1 000 heures parmi cet échantillon soit strictement supérieur à 42.

p(X >42) =1-0,997973 ~0,002.









 4. Sur l’annexe, le diagramme en bâtons représente les valeurs de p(X <=k) en fonction de k.
(a) À l’aide de ce diagramme, déterminer le plus petit nombre entier naturel k1 tel que p (X <=k1) > 0,025,
puis le plus petit nombre entier naturel k2 tel que p (X<=k2) > 0,975.

k1=27 ; k2 = 40.
(b) Peut-on affirmer : « le nombre de composants dont la durée de vie est supérieure à 1 000 heures appartient à
l’intervalle [27 ; 40] avec une probabilité supérieure à 0,95 » ? Justifier la réponse.
p(27<= X <=40) =0,975-0.025=0,95. L'affirmation est vraie.

Partie C.
Dans cette partie, on décide d’approcher la loi de la variable aléatoire X par la loi normale de moyenne 33,5 et d’écart type 3,3.
On note Y une variable aléatoire suivant la loi normale demoyenne µ = 33,5 et d’écart type s = 3,3.
1. Justifier le choix des paramètres µ et s.
µ= np = 50*0,67 = 33,5 ; s = (npq)½ =(30*0,67*0,33)½ =3,3.
2. Calculer la. probabilité P(Y <=42) arrondie à 10−2.
P((Y-m) / s <=(42-33,5) / 3,3) =
P((Y-m) / s <=2,57). Les tables donnent : P(Y <=42)~ 0,99.
3. Déterminer la plus petite valeur, arrondie à 10−1, du nombre réel a tel que p(33,5−a <= Y <= 633,5+a) >0,95.
les tables donnenet t = 1,96 et a = 1,96*3,3 =6,5.


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