Super héros en danger.... Bac S Amérique du Nord 2015


Rocketer utilise un réacteur placé sur son dos pour voler.
Données : vitesse constante du fluide éjecté vf = 2 103 m/s ;  masse initiale du système : mr = 120 kg dont 40 kg de fluide au moment du décollage ;
 débit massique du fluide constant Df = mf / Dt où mf est la masse de fluide éjecté pendant la durée Dt ; les frottements de l'air sont supposés négligeables.
Propulsion par réaction.
Lorsqu'un moteur expulse vers l'arrière un jet de fluide, il apparaît par réaction une force de poussée dont la valeur est égale au produit du débit massique de gaz ejecté par la vitesse d'éjection des gaz. Rocketer réalise quelques essais de mouvements ascensionnels verticaux. Le mouvement est composé de deux phases : phase 1 : durant Dt1 = 3,0 s il passe de l'immobilité à la vitesse v1, vitesse qui reste constante au cours de la phase 2.
Pour la phase 1, donner la direction et le sens du vecteur accélération aG du système. Que dire de l'accélération durant la phase 2 ? Justifier.
Phase 1 : la vitesse croît, l'accélération a le sens de la vitesse, vertical vers le haut.

Phase 2 : la vitesse est constante, le mouvement est rectiligne uniforme : l'accélération est nulle.
Etude de la phase 1.
On assimile Rocketeer et son équipement à un système noté M dont on néglige la variation de masse ( due à l'éjection de gaz ) durant la phase 1.
Juste après le décollage, la force de poussée F est l'une des forces s'exerçant sur le système. Quelle est l'autre force s'exerçant sur le système ?
Le poids, verticale, vers le bas, valeur P = mr g = 120 *10 = 1,2 103 N.
Trois valeurs d'intensité de force de poussée sont proposées. Justifier que seule la proposition C permet le décollage. A : 800 N ; B : 1200 N ; C : 1600 N.
Pour décoller, il faut que la poussée soit supérieure  au poids P.
En supposant que la poussée soit égale à 1600 N, montrer que la masse du fluide consommé durant la phase 1 est égale à 2,4 kg.
La valeur de la poussée est égale au produit du débit massique de gaz ejecté par la vitesse d'éjection des gaz. F = mf / Dt1 *vf  ;
mf  =F Dt1 / vf = 1600 *3,0 / (2 103)=2,4 kg.
Déterminer l'accélération de Rocketeer et en déduire v1.
Suivant un axe vertical ascendant, la seconde loi de Newton s'écrit : F-P = mr a.
a = (F-P) / mr =(1600-1200) / 120 = 3,333 ~3,3 m s-2.
v1 = a
Dt1 =3,333 *3,0 = 10 m s-1.





Problème technique.
Après quelques dizaines de mètres, le jet-pack ne répond plus et tombe en panne. Au bout de 80 m d'ascension verticale, la vitesse de Rocketeer est nulle. Il amorce alors un mouvement de chute verticale. La position du système est repéré sur un axe vertical dirigé vers le haut et la date t=0 correspond au début de la chute, soit à l'altitude y0 = 80 m.
Les graphes suivants proposent quatre évolutions de la vitesse vy, suivant l'axe Oy, du système au cours du temps. Quelle est la représentation cohérente ?
Le système est en chute libre ( les frottements de l'air étant négligés), la valeur de la vitesse est une fonction croissante du temps vy = -10 t. La vitesse initiale étant nulle.
La vitesse est dirigée vers le bas, en sens contraire de l'axe Oy.

Montrer que lors de la chute, la position de Rocketeer est donnée par : y(t) = -5t2+80.

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A 10 kilomètres du lieu de décollage, Batman, alerté dès le début de la chute de Rocketeer saute dans sa Batmobile, véhicule se déplaçant au sol.
Quelle doit être la valeur minimale de la vitesse moyenne de la Batmobile pour sauver Rocketeer ? Commenter.
Durée de la chute de Rocketeer : 0 = -5t2+80 ; t = 4 s.
Vitesse moyenne minimale de la Batmobile : 10 103 / 4 =2,5 103 m/s soit 2,5 103*3,6 = 9,0 103 km/h.
Cette vitesse ne correspond pas à la vitesse d'une voiture réelle ; avec une telle vitesse, la batmobile risque de décoller.

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