Système de 2 points matériels en interaction gravitationnelle, concours général 2000.

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Etude d'un système de deux points matériels en interaction gravitationnelle, isolé dans l'espace. Généralisation au cas de deux astres à symétrie sphérique.
Que peut-on dire du mouvement du centre d'inertie G de ce système ?
Un système isolé n'est soumis à aucune force extérieure. D'après le théorème du centre d'inertie, dans un référentiel galiléen, le centre d'inertie du système est animé d'un mouvement rectiligne uniforme.
. On note O1 et O2 les points matériels ; ml, m2 leurs masses respectives et D la distance O1O2. D'une manière
générale, les grandeurs relatives aux deux points seront repérées par l'indice i prenant les valeurs i = 1 ou i = 2.
Exprimer les vecteurs GO1 et GO2 en fonction du vecteur D = O1O2 et des masses m1 et m2.

Montrer qu'il existe un référentiel galiléen RG où G est immobile. Définir ce référentiel. C'est celui qui sera utilisé pour la suite de l'étude.
On note R un référentiel galiléen. Tout référentiel en translation rectiligne uniforme par rapport à R et lui même galiléen dans le référentiel barycentrique G est immobile.
Soit G la constante de gravitation universelle. Donner les expressions des forces Fi qui s'exercent sur les points Oi en fonction de G, m1, m2 et D.

Quelles sont les vecteurs accélérations a1 et a2 de O1 et O2 (respectivement) dans RG ?
La seconde loi de Newton conduit à :

On étudie le cas particulier où les trajectoires de O1 et de O2 dans RG sont des cercles de centre G et de rayons respectifs R1 et R2. Montrer que les mouvements de O1 et de O2 dans RG sont uniformes.
Faire un schéma clair des trajectoires de O1 et O2 dans RG et de leurs positions respectives sur ces trajectoires.
Les accélérations étant centripètes, les accélérations tangentielles dvi/dt sont nulles ; en conséquences les vitesses vi sont constantes : le mouvement de chaque point est uniforme.

En déduire que les rayons vecteurs GO1 et GO2 tournent autour de G à la même vitesse angulaire
Les points O1 et O2 étant constamment alignés, GO1 et GO2 tournent à la même vitesse angulaire w.
Dans ce qui suit, sauf mention particulière, seul ce type de mouvement sera considéré.


Calculer les rayons Ri. Établir une relation entre D et la vitesse angulaire w. Sous quel nom cette relation est-elle connue ?

Cette dernière relation exprime la 3è loi de Kepler.

.


 Déterminer les vitesses vi des deux points matériels Oi en fonction notamment de leurs masses mi et de leur distance D.
v1 = R1 w = m2/(m1+m2)D w avec w = (G(m1+m2)/D3)½.
v1 =
m2G½ / ((m1+m2)D)½v2 = m1G½ / ((m1+m2)D)½.
Que se passe-t-il si m1 >> m2 ? Commenter.
v1 ~
m2G½ / (m1D)½~ 0 ; G et O1 sont quasiment confondus.
Soit un point fixe G et un point matériel O, de masse m et de vecteur vitesse v. On appelle moment cinétique de O par rapport à G le produit vectoriel .
Calculer le moment cinétique total du système précédent par rapport à G.

Exprimer  en fonction de µ, w, D et k, vecteur unitaire perpendiculaire au plan de la trajectoire, tel que forment un trièdre direct. Vérifier que  se conserve.

µ, D et w étant constants, le moment cinétique
est constant.




Dans cette question on ne fait pas d'hypothèse sur les trajectoires des points matériels. On admet que

Montrer que 
se conserve aussi dans le cas général d'un point matériel O soumis à une force passant par G puis dans le cas général d'un système de deux points matériels en interaction gravitationnelle.

La force F et le vecteur GO étant colinéaires, le produit vectoriel de ces deux vecteurs est nul.
Pour un systèmede 2 points matériels en interaction de gravitation, les forces de gravitation sont colinéaires au vecteur O1O2 ; la direction de ces forces passent par le centre d'inertie G.
Le calcul précédent s'applique : d
/dt étant nul, alors est constant.
Calculer l'énergie cinétique Ec du système des deux points Oi en fonction de µ, D et w. (On éliminera G en utilisant les résultats du mouvement circulaire).
Ec =½m1 v12 +
½m2 v22 avec v1 = m2/(m1+m2)D w et v2 = m1/(m1+m2)D w.
Ec =½m1 ( m2/(m1+m2)D w)2+½m2(m1/(m1+m2)D w)2.
Ec =½m1m2/ ((m1+m2)D2w2 (m2/(m1+m2)+m1/(m1+m2)) =½µD2w2.
On définit l'énergie potentielle d'interaction Ep entre les deux points par les relations différentielles suivantes qui font respectivement intervenir les accroissements infinitésimaux dEp, d et dD des grandeurs Ep,  et D :

Par convention Ep = 0 lorsque les deux points sont infiniment éloignés.
Déterminer Ep en imaginant, par exemple, que le point matériel O2 est éloigné très lentement de O1 sous l'action d'un opérateur qui lui applique à chaque instant une force Fop infiniment proche de F2 (bien que très légèrement supérieure) et qui, de ce fait, effectue un travail élémentaire dW = dEp lorsque la distance D s'accroît de dD.
dEp = Gm1m2dD/D2  ; intégrer : Ep = -
Gm1m2 / D +Cste.
L'énergie potentielle est nulle lorsque D devient très grand, la constante d'intégration est donc nulle.
De plus G = D3w2/(m1+m2) ; par suite :
Ep = -µ D2w2.
En déduire l'énergie mécanique totale Em du système considéré en fonction de D, w et µ.
Em = Ec +Ep =½µD2w2-µ D2w2 =-½µ D2w2 .




  

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