Mouvement d'une balle de tennis  : concours audioprothésiste Nancy 2013


Un terrain de tennis est un rectangle de longueur l = 23,8 m et de largeur L = 8,23 m, séparé en deux dans le sens de la largeur par un filet dont la hauteur sera supposée constante et égale à h = 1 m.
Le lancer de balle au service doit s’effectuer de telle façon que la balle passe au dessus du filet pour rebondir dans une zone comprise entre le filet et une ligne située à une distance d = 6,4 m du filet. On étudie un service du joueur placé au point O.
Ce joueur souhaite que la balle frappe le sol en B tel que OB = L = 18,7 m. Pour cela, il lance la balle verticalement et la frappe avec sa raquette en un point A situé sur la verticale de O à la hauteur H = 2,20 m. La balle part alors de A avec une vitesse de valeur v0 = 126 km.h-1, horizontale comme le montre la figure. La balle de masse m = 58,0 g sera considérée comme ponctuelle et on considérera que l’action de l’air est négligeable. L’étude du mouvement sera faite dans le référentiel terrestre, galiléen, dans lequel on choisit un repère Oxyz comme l’indique la figure.

Données : accélération de la pesanteur  g = 9,81 m.s-2

Équations horaires paramétriques et trajectoire.
 Faire le bilan des forces appliquées à la balle pendant son mouvement entre D et B. Indiquer les caractéristiques (direction, sens, grandeur) et l’expression de ces forces.
Au cours de son mouvement, la balle n’est soumise qu’à son poids, force verticale, dirigée vers le bas et d’intensité Mg.
Établir l’expression du vecteur accélération de la balle au cours de son mouvement.
L’application de la seconde loi de NEWTON s’écrit :  le vecteur accélération de la balle.
ax =0 ; ay=-g ; az=0.
Montrer que les équations horaires paramétriques du mouvement de la balle sont : x(t) = v0t ; y(t) = -½.g.t2 + H ; z(t) = 0.
La vitesse est une primitive de l'accélération :
vx = V0 ; vy = -gt ; vz =0.
La position est une primitive de la vitesse :
x= V0 t ; y = -½gt2 +H ; z = 0.
 Montrer que le mouvement de la balle a lieu dans un plan.
Le vecteur vitesse initiale et le poids (seule force agissant sur la balle ) sont dans le plan xOy.
En déduire l’équation littérale de la trajectoire de la balle dans le plan xOy.
t = x/V0 ; y = -½g(x/V0)2 +H ; y = -½x2/V02 +H.



Qualité du service.
Sachant que la distance OF = 12,2 m, la balle, supposée ponctuelle, passe-t-elle au-dessus du filet ?
v0 = 126 /3,6 =35 m/s ;  y = -½g(x/V0)2 +H  =-0,5*9,81*12,22/352 +2,20 =1,60 m.
Cette valeur est supérieure à la hauteur du filet. La balle passe au dessus du filet.
Montrer que le service sera considéré comme mauvais, c’est-à-dire que la balle frappera le sol en un point B’ tel que OB’ soit supérieur à OB.
y = -½gx2/V02 +H = 0 ; x2 = 2V02H / g  ; x = V0 (2H / g)½ =35*(2*2,2/ 9,8)½ =23,5 m, valeur supérieure à OB.
En réalité, la balle tombe en B.
Quel est le paramètre, non pris en compte dans ce problème, qui peut expliquer cette différence ?
La balle est soumise à des frottements qui ne sont pas négligeables.

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Énergie de la balle.
 Donner l’expression littérale de la variation d’énergie potentielle de la balle entre l’instant où elle quitte la raquette et l’instant où elle touche le sol. Calculer sa valeur.
L'origine  de l'énergie potentielle de pesanteur est prise au niveau du sol.
DEp = 0-mgH = -0,058*9,81*2,20 =-1,25 J.
Quelle est l’expression de l’énergie cinétique de la balle lorsqu’elle part de A ? Indiquer les unités dans le système international.
Ec=½m v20 avec Ec en joule, m en kg et v0 en m/s.
Écrire les expressions de l’énergie mécanique de la balle en A (EmA) et de la balle en B’ (EmB’).
EmA= mgH +½m v20  ; EmB’= ½mv2B'.
Quelle est la relation entre EmA et EmB’ ? Justifier.
Seul le poids travaillentre A et B' ; l'énergie mécanique de la balle se conserve :
EmA=EmB’.
Déduire l’expression de la vitesse vB’ de la balle lorsqu’elle frappe le sol. Calculer cette vitesse.
mgH +½m v20 =½mv2B' ; gH +½ v20 =½v2B' ; 2gH + v20 =v2B' ;
vB' = (
2gH + v20)½ =(2*9,81*2,20 + 352)½ =35,6 m/s.




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