Plongée d'un bathyscaphe ; fission de l'uranium 235 : concours audioprothésiste Rennes 2012

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Plongée d'un bathyscaphe.
Un bathyscaph est constituée d'une lourde cabine pouvant accueillir 2 ou 3 personnes, suspendue à un flotteur rempli d'un liquide noté "L", moins dense que l'eau, qui compense le poids. Pour plonger, le bathyscape largue une partie du liquide L qu'il remplace par de l'eau de mer.

Masse totale du bathyscaphe : M = 200 t ( liquide L compris ) ;  volume total du bathyscaphe V = 194 m3 ; masse volumique de l'eau de mer : re =1,03 103 kg m-3 ; masse volumique du liquide L :
rL =0,66 103 kg m-3 ; g = 9,8 m s-2.
Le bathyscaphe est complétement immergé mais ne plonge pas encore.
Exprimer puis calculer la poussée d'Archimède s'exerçant sur le bathyscaphe.
FA =
re Vg =1,03 103 *194*9,8 =1,958 106 ~1,96 106 N.
Comparer la poussée au poids et conclure.
P = Mg = 2,00 105 *9,8 =
1,96 106 N.
Le poids et la poussée ont à peu près la même valeur. Le bathyscaphe reste en équlibre.
Le bathyscaphe remplace un volume V' = 2 m3 de liquide L par le même volume d'eau de mer.
La valeur de la poussée d'Archimède varie-t-elle ? Expliquer.
Le volume du bathyscaphe immergé ne varie pas : en conséquence la poussée d'Archimède reste inchangée.
Déterminer l'expression littérale de la variation de masse DM du bathyscaphe. Faire l'application numérique.
Masse de 2 m3 de liquide L : V'rL ; masse de 2 m3 d'eau de mer : V're
 DM =V'(
re-rL) =2(1,03-0,66)103 =7,4 102 kg.
Expliquer pourquoi le bathyscaphe se met à descendre.
L'équilibre est rompu, le poids étant devenu supérieur à la poussée.
 
Calculer la nouvelle masse M' du bathyscaphe.
M' = M + DM =200 +0,74 = 200,74 t = 2,0074 105 kg.
Faire le bilan des forces exercées sur le bathyscaphe lors de la descente. Représenter, sans échelle, ces forces sur un schéma.



On  suppose que la valeur de la force de frottement exercée par l'eau est modélisée par la relation f = kv2 avec k =9,0 103 kg m-1.
Etablir l'équation différentielle du mouvement selon l'axe vertical descendant
.
La seconde loi de Newton conduit à : M'g -kv2-reVg = M'dv/dt.
Le bathyscaphe atteint une vitesse limite.
Donner l'expression de cette vitesse puis la calculer.
M'g -kvlim2-reVg =0 ; vlim2= g(M'-reV) /k.
vlim= (g(M'-reV) /k)½ =(9,8(2,0074 105-1,03 103*194)/(9,0 103 ))½=1,00 m/s.
Justifier l'unité de k par analyse dimensionnelle.
k est une force divisée par le carré d'une vitesse ; une force est une masse fois une acclération :
[k] =M L T-2 / (L T-1)2 =ML-1. ( kg m-1).

.


Propulsion du sous-marin "le terrible".
Ce sous-marin utilise comme combustible de l'uranium  enrichi en 23592U.
Masse d'un noyau
23592U : m(U) =235,0439 u ; masse d'un noyau 9438Sr : m(Sr) =93,9154 u ; masse d'un noyau 14054Xe : m(Xe) =139,9252 u ; masse d'un neutron 10n : m(n)=1,0087 u ;
1 u = 1,66 10-27 kg ; masse molaire
23592U : M =235 g/mol.
Donner la structure du noyau d'uranium 235 ?
92 protons et 235-92 = 143 neutrons.
Ces noyaux peuvent donner différentes fissions. La plus fréquente est donnée par :
23592U+10n---> 14054Xe + 9438Sr + x10n.
Montrer que x=2. Justifier .
Conservation du nombre de nucléons : 235+1 =140+94+x ; x = 2.
Conservation de la charge : 92 = 54+38 est bien vérifiée.
Montrer que l'énergie libérée par la fission d'un noyau d'uranium 235 vaut Elib = 2,91 10-11 J.
Dm= m(n) +m(Sr) +m(Xe) -m(U) =1,0087+139,9252+93,9154-235,0439=-0,1946 u ou -0,1946*1,66 10-27 =-3,23 10-28 kg.
Elib =|
Dm|c2 =3,23 10-28 (3,00 108)2=2,91 10-11 J.
On suppose pour simplifier que les énergies libérées par toutes les réactions de fission sont approximativement égales à celle calculée.
Le réacteur fournit une puissance moyenne de 150 MW.
Calculer le nombre de fissions par seconde.
150 106 J s-1 ;
150 106 /(2,91 10-11) =5,16 1018 fissions par seconde.
En déduire la masse d'uranium consommé en une seconde.
5,16 1018 *3,23 10-28 =1,67 10-9 kg.
Un tel sous marin est prévu pour naviguer pendant une durée de deux mois.
Quelle masse d'uranium 235 doit-il embarquer pour assurer son approvisionnement énergétique pendant cette durée ?
1 mois = 2,6 106 s ;
2*2,6 106 *1,67 10-9 =8,7 10-3 kg.






 



  

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