Chute libre, mouvement parabolique. Concours kiné Assas 2014


Un enfant lâche une balle de tennis supposée ponctuelle, sans vitesse initiale, de sa fenêtre située à une hauteur h = 6,0 m au dessus d'une verrière oblique. la balle rebondit sur la verrière, en un point A, symétriquement par rapport à la normale (n) à la verrière en ce point, sans changement de valeur de sa vitesse. Elle atteint le sol en un point B, à une hauteur H = 3,0 m sous la fenètre de l'enfant et à une distance L= 12 m du pied du mur de l'immeuble.

On cherche à déduire l'angle a.
Donner la relation ente les angles a et q.

Donner l'expression littérale de la norme de la vitesse v0 de la balle à son arrivée en A.
Conservation de l'énergie mécanique entre le départ et A : mgh = ½mv02 ; v0 = (2gh)½.
Trajectoire de la balle entre A et B.
 Dééterminer dans le repère (O, x, y) les équations horaires de l'accélération, de la vitesse et du vecteur position.  L'origine des dates et celle du passage en A.
Accélération ( chute libre ) : (0 ; -g )
Vitesse initiale : v0 cos q ; v0 sin q.
La vitesse est une primitive de l'accélération :
vx = v0 cos q ; vy = -gt + v0 cos q.
Position initiale en A : 0 ; H.
La position est une primitive de la vitesse :
x =
v0 cos q t ; y = -½gt2 +v0 sin q t + H.



En déduire l'équation de la trajectoire de la balle.
t = x / (v0 cos q) ;
y = -½g x2 / (v0 cos q)2 +v0 sin q  x / (v0 cos q) +H.
y = -½g x2 / (v0 cos q)2 +  x  tan q + H.
B est un point de la trajectoire de la balle. Quelle équation du second degré en tan q obtient-on ?
Au point B, y =0 et x = L.
0 =
-½g L2 / (v0 cos q)2 +  L  tan q + H.
Or 1/ cos2q = 1+tan2q :
0 =
-½g L2 / v02 (
1+tan2q)+  L  tan q + H.
-½g L2 / v02 tan2q + L  tan q + H-½g L2 / v02=0. ( réponse D).
On divise chaque terme par L :
-½g L / v02 tan2q +  tan q + H/L-½g L / v02=0.

.


Quelle est l'unité du discriminant D de cette équation du second degré ?
D = b2-4ac = 1+4(
½g L / v02)(H/L-½g L / v02)= 1+2g L / v02(H/L-½g L / v02 )).
D =1+2gL/ v02(H/L-½g L/ v02 )).
Or v02= 2gh : D =1+L(H/L- L/ (4h) )/ h).
D =1+H/ h- L2/ (4h2).
Le discriminant est sans dimension.
En remplaçant v0 par son expression, quelle est finalement l'expression de l'équation en tan q ?
-½g L / v02 tan2q +  tan q + H/L-½g L / v02=0.
 
-½g L / (2gh) tan2q +  tan q + H/L-½g L / (2gh)=0.
- L / (4h) tan2q + tan q + H/L- L / (4h)=0. ( réponse B).
A.N : h = 6,0 m ; H = 3,0 m ; L = 12 m.
-12 / 24
tan2q + tan q + 0,25- 0,5=0. 
-0,5
tan2q +  tan q -0,25=0.
tan2q -2 tan q +0,5=0.
D' = 1-0,5 = 0,5 ; D = 0,707 ;
tan q  =1+0,707 = 1,707 ; q =59,6 ~60°.
tan q  =1-0,707 = 0,293 ; q =16,3~16°.
a1 = (90 -q)/2 =(90-59,6)/2=15,2° ~15°.
a2 ==(90-16,3)/2=36,85° ~37°.










  

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