Détecteur de véhicule à boucle inductive
Concours ingénieur de l'industrie et des Mines 2013

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Une méthode de détection des véhicules ( pour l'ouverture de barrières automatiques ou le déclenchement de feux tricolores ) utilise une boucle métallique enterrée dans la chaussée. Lorsqu'un véhicule en acier est placé au dessus, l'inductance de cette boucle se trouve modifiée.

Inductance de la boucle.
Donner la relation entre l'inductance propre L d'un circuit et l'intensité I qui le  traverse et le flux propre F à travers la surface.
F = LI.
Considérons un fil infini d'axe Oz et de rayon e parcouru par un courant d'intensité I dans le sens z croissant. Tout point M est repéré par ses coordonnées cylindriques (r, q, z ).
Etablir par des arguments de symétrie puis avec le théorème d'Ampère le champ magnétique B crée en un point M.

Si une distribution de courant est invariante par translation le long d'un axe Oz les effets physiques engendrés au point M ne dépendent pas de la coordonnée z; si la distribution de courant est invariante par rotation d'un angle a , les effets ne dépendent pas de l'angle a.
En conséquence pour ce fil, le champ en M ne dépend pas des coordonnées z et a.
plan P : plan de symétrie pour le courant ; le champ magnétique en M est perpendiculaire à ce plan.
 plan P' : plan d'antisymétrie pour le courant : le champ magnétique en M est contenu dans ce plan.
le champ magnétique en M est orthoradial.
La norme du champ magnétique en M se calcule à l'aide du théorème d'Ampère

On calcule la circulation sur un cercle : le champ est constant sur ce contour et reste tangent au cercle.

La densité de courant est j=I/(pe²), e rayon du câble.
point intérieur au câble.
Appliquer le th. d'Ampère sur le contour G, cercle de rayon r, l'intensité des courants enlacés par G étant I r²/e².
B 2p r =m0 I r²/e². B =m0 I r / (2p e²)


Donner, en fonction de µ0, I, a, b et e le flux Ff(a,b,e,I) du champ magnétique à travers le rectangle de surface ab.

Le champ magnétique est colinéaire au vecteur surface :
Exprimer le flux à travers la surface bdr située à la distance r de l'axe puis intégrer :

La boucle se compose de n spires rectangulaires identiques de largeur D =2 m et de longueur G =1 m, réalisée avec un fil de cuivre de section pe2 = 1,5 mm2. On admet que le flux à travers la boucle est :
F = 2n[Ff(G, D, e, nI) +Ff(D, G, e, nI)]
Après avoir justifier cette expression donner l'inductance propre L de cette boucle.
Pour un cadre, les 2 côtés de longueur D créent le flux : 2
Ff(G, D, e, I), les deux côtés de longueur D créent le flux 2Ff(D, G, e, I). Multiplier par le nombre de cadre.
Le champ magnétique créé par n conducteurs traversés par l'intensité nI sera également multiplié par n.
F = 2µ0 n2I / (2p)[D(½+ln (G/e)) +G(½+ln(D/e))]
L =
F / I =0 n2 / (2p)[D(½+ln (G/e)) +G(½+ln(D/e))].
L doit être comprise entre 90 et 500 µH.
Quelles sont les valeurs minimales et maximales de n ?
e = 6,9 10-4 m ;  ; D(½+ln (G/e)) +G(½+ln(D/e)) =2(0,5 +ln(1 /(6,9 10-4))+0,5+ln (2/(6,9 10-4)~ 24.
90 10-6 =2*4p 10-7 n2mini/(2p)*24 ; nmini =3.
500 10-6 =2*4p 10-7 n2maxi/(2p)*24 ; nmaxi =7 .
Par la suite on prendra n =3 et L =300 µH.

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Détection d'un véhicule.
Lorsqu'un véhicule se positionne à une distance h au dessus de la boucle, la face inférieure est le siège de courants induits par le champ magnétique créé par la boucle. Ces courants produisent à leur tour un champ magnétique induit. Celui-ci est identique à celui que produirait une boucle image de la boucle enterrée. Le miroir étant la face inférieure supposée plane du châssis.
Reproduire la figure en indiquant le sens du courant dans lapire "miroir" pour que ce modèle soit conforme à la loi de Lentz.
Par ces effets électromagnétiques, le courant induit s'oppose à la cause qui lui donne naissance : il tend à diminuer le champ magnétique et pour cela son sens est contraire au courant qui traverse les conducteurs enterrés.


On estime que le quotient du flux induit Fi par la spire miroir sur le flux propre F de la spire entérrée est tel que : Fi ~F(G /(G+2h)4. Ce qui revient à considérer que l'inductance de la spire enterrée a subi une variation DL.
Déterminer la variation relative DL/L.
Le flux et l'inductance sont proportionnelles. La variation relative de l'inductance propre est égale à la variation relative de flux.
(F-Fi)/F =1-
Fi/F =1-(G /(G+2h)4 = 1-[1/(1+2h/G)]4 ~1-(1-8h/G) ~8h/G si 2h/G est petit devant 1.
La boucle ne se comporte pas comme une inductance pure mais présente une résistance ohmique R.
Calculer cette résistance R sachant que la résistivité du métal est r =1,7 10-8 W m.
Pour une boucle R = rL/S avec L = 2(D+G) = 6 m et S = 1,5 10-6 m2.
R =1,7 10-8 *6/(1,5 10-6) =0,068 ohm ; pour n = 3 boucles en série : R = 3*0,068 =0,204 ~0,20 ohm.
Afin de détecter la variation d'inductance, la boucle est branchée en parallèle avec un condensateur de capacité C.

Etablir l'équation différentielle vérifiée par la tension U en absence de véhicule. En déduire la fréquence propre f0 du circuit.
w0 =1/(LC)½ ; f0 =
w0 /(2p) =1/(2p(LC)½).
A quelle condition les solutions de l'équation différentielle sont oscillantes ?
Equation caractéristique : r2+R/L r+1/(LC)=0.
Le discriminant doit être négatif : (R/L)2-4/(LC) < 0.
Le constructeur précise que la valeur de f0 doit être comprise entre 10 et 90 kHz.
Calculer la gamme de valeurs dans laquelle la capacité C doit être choisie.
L = 3 10-4 H ; Cmaxi =1/(4p2f02L) =1/(4*3,142*(104)2*3 10-4)=8,4 10-7 F.
Cmini =1/(4p2f02L) =1/(4*3,142*(9 104)2*3 10-4)=1,0 10-8 F.




Exprimer la variation relative de la fréquence d'oscillation Df0 / f0 en fonction de celle de l'inductance de la boucle DL / L.
f0 = Cste L ; ln f0 = ln Cste -½ln L ;  Df0 / f0  =-½DL / L.
Le seuil de détection de la variation de fréquence peut être réglé  entre 0,01 et 20 %.
La valeur DL/L donne t-elle lieu à une variation de fréquence compatible avec les spécifications du constructeur ?
Si h = 25 cm et G = 1 m : ½ DL/L ~½(
1-(G /(G+2h)4 )~1-(1/1,5)4 ~1-0,095 ~0,40.
Cette variation n'est pas compatible avec celle de la fréquence.
Le constructeur intercale dans le circuit le montage indiqué ci-dessous et le place aux bornes du condensateur. L'A.O fonctionne en régime linéaire.
Donner la relation entre V1 et I1 et expliquer le rôle de ce dispositif.

Ce dispositif compense à chaque instant les pertes d'énergie par effet Joule et permet d'entretenir les oscillations.




  

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