Le grand 8. Concours itpe 2014


On étudie le mouvement d'un wagonnet de grand 8. Les forces de frottement sur les rails et la résistance de l'air sont négligées. On assimile le véhicule à un point matériel. La vitesse initiale est nulle.


Il est tracté par un câble sur la piste AB de pente 55° et de longueur d = 20,0 m.

En appliquant le théorème de l'énergie cinétique, trouver la relation entre m, vB, g, d, a et la tension T du câble.
Le wagonnet est soumis à son poids, à l'action normale du plan et à la tension du câble.
Travail résistant du poids en montée : -mgd sin a.
Travail de la tension du câble : T d.
Le travail de l'action normale du plan est nul, force perpendiculaire à la vitesse.
Variation de l'énergie cinétique entre A et B : ½mvB2-0 =Td-
mgd sin a.
T = m(0,5
vB2/d+g sin a).
A.N : vB = 2 m/s ; m =600 kg.
T = 600(0,5*4 / 20 +9,81 sin 55) =4,88 103 N.
Après une partie horizontale BC, le wagonnet aborde une pente descendante CD de longueur L = 10 m à la vitesse vC. q = 40,0°.
Quelle est la vitesse vC ? Justifier sans calcul.
Sur la partie horizontale, le wagonnet est soumis à son poids et à l'action normale du plan. Ces force perpendiculaires à la vitesse ne travaillent pas. L'énergie cinétique, et en conséquence la vitesse, restent constantes.

Quelle est la vitesse vD ?
Travail moteur du poids  ( descente ) entre C et D : mgL.
le travail de l'action normale du plan est nul.
Th de l'énergie cinétique entre C et D : ½mv2D-½mv2C = mg Lsin q.
v2D =v2C +2 g Lsin q ; vD = (v2C +2 g Lsin q)½=(4+2*9,81*10*sin 40)½=11,4 m/s.
  Quelle devrait être la longueur du tronçon CD pour que vD = 4 m/s ?
v2D =v2C +2 g Lsin q ; L =(v2D -v2C ) / (2gsin q) = (16-4) /12,61=0,95 m.



Le wagonnet aborde plus loin un looping de rayon R = 2,5 m. Soit ß l'angle compris entre le vecteur OE et OM avec O centre du looping.
Justifier la conservation de l'énergie mécanique EM du wagonnet.
Sur le looping seul le poids travaille. Le poids est une force conservative.
On prend le point E comme origine de l'énergie potentielle de pesanteur.

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Quelle doit être la vitesse minimum en E pour que le wagonnet puisse passer le looping ?
La liaison chariot-rails étant parfaite, l'action des rails sur le charriot est perpendiculaire au rail. Les rails guident le chariot et exerce une action dirigée vers O.

Expression de N en fonction de ß :
La seconde loi de Newton s'écrit suivant er : -N + mg cos ß = -mv2/R. (1)
Théorème de l'énergie cinétique entre E et la position repérée par ß :
½mv2 - ½mvE2 = -mgR(1-cos ß) ; v2 = v2E -2gR(1-cos ß) . Repport dans (1)
N = mg cos ß +m(v2E -2gR(1-cos ß))/ R = mg cos ß - 2mg( 1-cos ß)+mv2E/R
N = mg (3 cos ß-2) + mv2E/R
Le chariot doit rester au contact des rails : N >0 quelle que soit la valeur de ß, en particulier lorsque ß = p.
g (3 cos p-2) + v2E/R>0 ;  -5g+v2E /R>0 ;  vE>(5gR)½ ; vE > (5*9,81*2,5)½ ; vE >11,1 m/s.





Montrer que la vitesse v du wagonnet en M peut s'écrire : v = (v2E -2gR(1-cos ß))½.
Energie mécanique en E : ½mv2E.
Energie mécanique en M :
½mv2+mgR(1-cos ß).
Conservation de l'énergie mécanique :
½mv2E=½mv2+mgR(1-cos ß).
v2E=v2+2gR(1-cos ß) ; v2=v2E-2gR(1-cos ß).
A.N : ß =30° ; vE =11,1 m/s.
v = (11,12 -2*9,81*2,5(1-cos 30))½ =10,8 m/s



  

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