Thermique, oscillateur simple, circuit primaire d'une centrale nucléaire. Concours technicien de l'industrie et des Mines  2013

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Tube de passage de courant.
Une raffinerie doit transporter des produits bitumeux à forte viscosité qui à 180°C sont liquides. La solution retenue est la canalisation dite tube de passage de courant ou TPC. Il s'agit d'un tube métallique, souvent en acier inoxydable, qui sert à la fois de conduit pour le fluide et le conducteur chauffant. Le tube de canalisation est mis sous tension par tronçon et, pour éviter les pertes thermiques, il est calorifugé.
Caractéristiques de la ligne : L = 405 m ; D = 154,1 mm ; matériau du tube : acier standard ; calorifuge : laine de roche. Tension d'alimentation du tube : 50 V
Préchauffage du bitume  : température initiale 0°C ; température de fonctionnement : 180 °C ; masse volumique r = 1050 kg m-3 ; c = 2930 J kg-1 K-1 ; temps de préchauffage : 5 jours.
Pour la phase de préchauffage :
Calculer le volume V puis la masse m de bitume contenue dans une ligne.
V = pD2/4 L =3,14 *0,15412/4*405 =7,5535 ~7,55 m3 ; m = rV = 1050 *7,5535 ~7,93 103 kg.
Calculer l'énergie thermique Q nécessaire pour amener le bitume de la température initiale à la température de fonctionnement.
Q = m c(q2-q1) =
7,93 103 *2930*180 =4,183 109 ~4,18 109 J.
Le rendement énergétique étant de 90 %, calculer l'énergie électrique We consommée pour chauffer le bitume.
4,183 109 / 0,90 = 4,648 109~4,65 109  J.
En déduire la puissance électrique Pe.
Pe = We / durée (s) =
4,648 109/(5*24*3600)=1,0758 104 ~1,1 104 W.
Calculer l'intensité du courant qui circule dans le tube.
I = Pe / U =
1,0758 104 /50 =2,15 102 A.
Oscillateur simple.
Un ressort de raideur k = 4,0 103 N m-1, à spires non jointives est étudié sur un banc d'essais.
Un solide S de masse m = 100 kg, fixé à l'extrémité du ressort, est guidé par l'intermédiaire d'une tige horizontale. On néglige les frottements. L'abscisse du centre d'inertie G du solide est repéré par rapport à la position O de G au repos. On écarte le solide S de sa position d'équilibre et on le lâche sans vitesse initiale à la date t=0. Son abscisse est x0 = 5,0 10-2 m.
Représenter les forces s'exerçant sur le solide et établir l'équation différentielle du mouvement.
Le solide est soumis à son poids, à l'action du support et à une force de rappel exercée par le ressort.
Référentiel terrestre supposé galiléen.

Poids et action du support se neutralisent.
tension du ressort

La seconde loi de Newton s'écrit, le référentiel terrestre étant supposé galiléen ; projection sur l'axe x'x :
-k x = mx" ou x" + k/m x=0 ; pulsation w² = k/m.




Calculer la période propre des oscillation.
T = 2 p(m/k)½ = 2*3,14 (100 / 4,0 103)½ =0,993459 1~0,99 s.
Etablir l'équation horaire du mouvement.
Solution de l'équation différentielle : x = A cos (wt+B). A et B sont des constantes.
La vitesse initiale est nulle : x' = -Aw sin
(wt+B).
x'(t=0) = 0 =
-Aw sin (B) ; A , l'amplitude n'est pas nulle donc B = 0 ou p radian.
La position initiale vaut x0 :
x (t=0)=x0= A cos (B).
Par suite A = x0 et B = 0 et
x = x0 cos (wt)
Donner l'expression de l'énergie cinétique Ec puis de l'énergie potentielle élastique Epe du système. Retrouver l'équation différentielle à partir de la conservation de l'énergie mécanique.
Energie cinétique ½mx'2 =½m(x0w sin ( wt))2.
Energie potentielle élastique : ½kx2 = ½k
(x0 cos ( wt))2.
Energie mécanique :
½mx'2 + ½kx2 ½kx02 = constante.
Dériver par rapport au temps : m x" x' + kx x' = 0 ; simplifier par x' non nul : mx" + kx = 0.

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Circuit primaire d'une centrale nucléaire.
De l'eau sous pression circule dans le circuit en parcours fermé. Elle s'échauffe lors de son passage dans le coeur du réacteur grâce à l'énergie fournie par les éléments combustibles.. Cette énergie calorifique, transportée par l'eau sous pression, est utilisée, via l'échangeur, par le circuit secondaire ( non représenté ) pour produire de l'énergie électrique. On considère que tous les points du circuit primaire sont à la même altitude.

Débit massique de l'eau Qm = 13,2 103 kg s-1 ;  diamètre du circuit primaire : D = 600 mm ; longueur de la conduite LAB = LCD = 2,0 m ; LBC =5,0 m et chaque coude, en B et en C, équivaut pour les pertes de charges à une longueur supplémentaire de 1,0 m. Masse volumique de l'eau r = 1000 kg m-3 ; viscosité cinématique de l'eau n = 5,0 10-7 m2 s-1 ; g = 9,8 m s-2.
Dans un réacteur nucléaire, l'une des réaction possible est :
23592U + 10n --->139zI + 9439Y + x10n.
Cette réaction est-elle une fusion, une fission ou une désintégration spontanée ? Justifer.
Sous l'action de neutron, l'uranium 235 fissionne en 2 noyaux plus légers.
Déterminer z et x en rappelant les lois utilisées.
 Conservation du nombre de nucléons  : 235+1 = 139+94+x, d'où x = 3.
Conservation de la charge : 92 = x + 39 d'où z = 53.
Calculer le débit volumique Qv.
Qv =Qm / r = 13,2 103 / 1000 = 13,2 m3 s-1.
Montrer que la vitesse de l'eau dans la conduite ABCD est 46,7 m/s.
v = Qv / (pD2/4) = 13,2*4 /(3,14 *0,62) =46,68 ~46,7 m/s.
Calculer le nombre de Reynolds pour cette conduite et en déduire le type d'écoulement.

Le nombre de Reynolds (sans unité) permet de déterminer si un écoulement est laminaire ou turbulent.
Re = v D / n = 46,7 * 0,600 / (
5,0 10-7) =5,6 107. Ecoulement turbulent rugueux.
Que vaut le coefficient de pertes de charges linéaires l dans cette conduite ? l = 3,5 10-2, indépendant de Re.
Calculer les petes de charges linéaires JAD exprimées en mètres dans la conduite entre les points A et D et en déduire la variation de pression Dp correspondante.
Pertes de charges linéaire dans une conduite de longueur L : J = lv2 L /(D 2g) =3,5 10-2 *46,72* 11/(0,600*2*9,8) = 71,4 ~71 m.
DP = r g J =1000*9,8 *71,4 ~7,0 105 Pa ~7 bar.






  

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