La plongée avec bouteille, concours général 2013.


Les bouteilles de plongée sont en général fabriquées en acier permettant de toléerer des pressions importantes. Elles constituent ainsi une réserve d’air (ou de gaz) àa haute pression. Lorsqu’il est immergé, le plongeur peut alors inspirer les quantités d’air qui lui sont nécessaires à pression ambiante via le détendeur. La pression ambiante correspond à la pression à laquelle se trouve le plongeur et dépend donc de la profondeur.
On considère une bouteille de volume VB = 15 L remplie d’air à la pression PH0 = 200 bar. On suppose qu’un plongeur inspire le volume Vp = 1 L toutes les 6 secondes.
Quel est le volume d’air disponible pour ce plongeur en surface, puis aux profondeurs z= 20 m, z2 = 40 m, et z3 = 80 m. Combien de temps le plongeur peut-il respirer à ces différentes profondeurs ?
P(z) =P0 +regz ; P1 =1,0 105 +1000*9,81*20 =2,96 105 Pa ;
P2 =1,0 105 +1000*9,81*40 =4,92 105 Pa ; P3 =1,0 105 +1000*9,81*80 =8,85 105 Pa.
Quantité de matière d'air ( à 15°C) : n = VBPH0/(R T)  = 15 10-3*200 105 /(8,31*288) =125,3 mol
Volume d'air disponible en surface : V =nRT/ P0 =125,3 *8,31*288 / (1,0 105)~ 3,0 m3 ( 3000 L).
La durée  de la respiration est t =3000 * 6 = 18000 s = 5 heures.
A 20 m : V =nRT/ P1 =125,3 *8,31*288 / (2,96 105)~ 1,013 m3 ( 1010 L) ; t = 1010 * 6 = 6,08 103 s =1 h 41 min.
A 40 m : V =nRT/ P2 =125,3 *8,31*288 / (4,92 105)~ 0,6095 m3 (609,5 L) ; t = 609,5*6 =3,66 103 s =1 h 1 min.
A 80 m : V =nRT/ P3 =125,3 *8,31*288 / (8,85 105)~ 0,3388 m3 (338,8 L) ; t = 338,8*6 =2,033 103 s ~34 min.
Le détendeur assure l’interface entre le plongeur et l’air à haute pression contenu dans la bouteille. Le détendeur remplit deux fonctions :  fournir au plongeur la quantité d’air correspondant à ses besoins ( Quand le plongeur expire, l’arrivéee d’air est coupée) et fournir cet air à pression ambiante, c’est à-dire à la pression àa laquelle est soumis le plongeur.
Les détendeurs sont aujourd’hui constitués de deux étages. Le premier étage permet de ramener l’air de la bouteille (pression PH) à une moyenne pression ou pression intermédiaire (PM). Ce premier étage est la partie du détendeur fixée à la robinetterie. Le deuxièeme étage permet de diminuer à nouveau la pression, de la pression intermédiaire PM jusqu’à la pression ambiante PA. Le deuxième étage du détendeur correspond à l’embout buccal.
Le principe de chacun de ces deux étages est le même. Les détendeurs sont en général constitués de clapets à ressort. Nous allons étudier leur fonctionnement.
Ce détendeur représenté ci-dessous est composé d’une chambre humide remplie d’eau. Dans cette chambre, règne la pression ambiante PA. Cette chambre est séparée du compartiment à la pression intermédiaire par un piston mobile de section S. Nous allons, dans la suite, négliger le poids de ce piston mobile et supposer qu’il isole parfaitement l’air contenu dans le compartiment moyenne pression de la chambre humide. Au- dessus, nous avons le compartiment haute pression.
 
Suivant la position du piston, l’air peut circuler ou non du compartiment haute pression vers le compartiment pression intermédiaire. La figure 7 représente le détendeur à l’équilibre : le piston est en position haute et l’air ne circule pas. Sur la figure 8, le détendeur est représenté en position ouverte. L’air à haute pression passe alors du compartiment haute pression au compartiment à la pression intermédiaire.
Lorsque cet étage est placé à l’air libre et que toutes les pressions (PA, PH et PM) sont égales à la pression atmosphérique P0, le clapet reste ouvert. La chambre humide est à symétrie cylindrique et est caractérisée par sa couronne d’épaisseur R, et sa hauteur d.




Repésenter la surface du piston sur laquelle s’exerce la force de pression de la chambre humide dans laquelle règne la pression PA. Exprimer cette surface notée FA en fonction de D et R. En déduire la force de pression FA exercée sur le piston.
Représenter la surface du piston sur laquelle s’exerce la force de pression de la chambre intermédiaire à la pression PM. Exprimer cette surface notée FM en fonction de D et e. En déduire la force de pression FM exercée sur le piston.


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Force de pression exercée sur le piston dans le compartiment haute pression :
Dans le compartiment haute pression, les forces de pression qui s’exercent sur le piston s’appliquent suivant les différentes surfaces du piston en trait noir sur la figure. On suppose, pour étudier la résultante de ces forces, que le piston est plongé dans une zone où règne une pression uniforme notée PH.
On s’intéresse d’abord aux forces de pression qui s’appliquent sur les portions verticales du piston. Exprimer la résultante de ces forces.

On s’intéresse maintenant aux forces de pression appliquées sur les surfaces obliques. Exprimer la somme des vecteurs unitaires en fonction de ez et de l’angle α.

La résultante des forces de pression élémentaires exercées sur des éléments de surface diamétralement opposés est dirigée vers le bas suivant le vecteur -ez .
Etablir la relation entre l’angle a et les longueurs l et d. En déduire que la résultante de ces forces, notée Fo, est verticale et équivalente à la force de pression qui serait exercée par la pression PH sur la couronne représentée sur la figure.
sin a = d / l.
S sin a correspond à la projection de la surface S sur la couronne horizontale représentée :
FC=S sin a  =p((d+e)2-(e2) = pd(d+2e).
Or ½D = R+d+e ; d =½D-R-e ;
FC=p(½D-R-e)(½D-R+e)= p((½D+R)2-e2).
F0 =PH p((½D+R)2-e2).
Etablir la relation entre les surfaces FM, FA et FC.
FM =p((½D)2-e2) ; FA =pR(D-R) ; FM +FA =p((½D)2-e2+R(D-R)= p((½D+R)2-e2) = FC.
Le piston est à l’air libre, et le clapet est ouvert. Toutes les pressions sont égales à la pression atmosphérique P0.
Exprimer la résultante de toutes les forces qui s’exercent sur le piston.
Somme des forces pressantes et de la force de rappel exercée par le ressort.

 Enoncer la condition d’équilibre. En déduire l’expression de la longueur d en fonction de0, la longueur `a vide du ressort.

A l'équilibre la somme vectorielle des forces est nulle et les pressions étant toute égales à P0 , le premier terme est nul ; par suite d=l0.

On monte maintenant le détendeur sur une bouteille remplie d’air à la pression PH.
Représenter le trajet de l’air. Comment évolue la pression PM dans le compartiment moyenne pression ?

La pression PM croît jusqu'à atteindre l'équilibre entre les pressions. Alors le clapet se referme sous l'action du ressort.
Quelles sont les forces appliquées au piston mobile ? On négligera toujours son poids.
Aux forces pressantes, il faut ajouter la force de rappel exercée par le ressort.
Lorsque le clapet est fermé, le joint souple interdit une circulation d’air du compartiment haute pression à l’étage intermédiaire. Le piston est alors soumis à une force supplémentaire notée R
représentant l’action du joint sur le piston et dirigée vers le bas. Lorsque le clapet est fermé, cette force est non nulle. Montrer que lorsque le clapet est fermé, la pression intermédiaire vérifie la relation suivante : PM ≥kDl/FA+Poù ℓ représente la distance parcourue par le piston entre sa position à l’équilibre et sa position une fois le clapet fermé.







On immerge maintenant le détendeur. La chambre humide se remplit d’eau. On maintient la sortie du compartiment moyenne pression fermée, et on atteint ainsi la profondeur z1 = 20 m.
Expliquer le comportement du détendeur durant la descente. Calculer la pression intermédiaire PA à la profondeur z1. Comment évolue la pression PM avec la pression ambiante et donc avec la profondeur ? Quelles sont les conséquences pour le plongeur ?
Lors de la descente, la pression augmente de 1 bar à 3 bar. La pression augmente (et en conséquence la force pressante exercée sur le piston) ,dans la chambre humide. L'équilibre du piston est rompu, le clapet s'ouvre.
PM-PA reste constante, le plongeur respire touours de l'air à la pression ambiante.
Le plongeur est toujours situé à la profondeur z1. Expliquer le fonctionnement du détendeur lorsque le plongeur respire. Le fonctionnement de ce détendeur dépend-il de la haute pression dans la bouteille ? Le
plongeur doit-il toujours exercer le même effort pour inspirer ? Conclure sur les avantages ou inconvéenients d’un tel d´etendeur.
Lors de l'inspiration, la pression PM diminue et le clapet s'ouvre. PM augmente jusqu'à la fermeture du clapet. Le fonctionnement de ce détedeur est indépendant de la pression dans la bouteille et le plongeur doit toujours exercer le même effort pour respirer. Par contre ce dernier n'est pas averti lorsque la pression devient trop faible dans la bouteille.
Ce d´etendeur à chambre humide présente un inconvénient : lors de la détente d’un gaz, celui-ci se refroidit et peut atteindre des températures de l’ordre de −80 °C `a −100 °C. L’eau contenue dans la chambre humide
peut se refroidir jusqu’à geler, pouvant bloquer le piston en position ouverte ou fermée. Nous allons étudier dans cette partie si, compte-tenu de la capacité thermique de l’eau, le risque de givrage doit être pris en
compte.
On ne considére que les échanges thermiques entre la masse Me d’eau contenue dans la chambre humide et le milieu extérieur. Ces échanges correspondent :
- à la chaleur perdue lors de la détente : la puissance cédée par l’eau au gaz s’écrit P = K (T − T0)
où T est la température de l’eau contenue dans la chambre humide, et T0 celle de l’air circulant de la bouteille haute pression vers l’étage moyenne pression PM. En régime stationnaire, cette tempéerature sera considérée comme constante et égale é sa valeur moyenne : T0 = 173 K.
-  à la chaleur reçue lors des échanges avec l’eau extérieure à la chambre humide. En effet au cours de chaque cycle, une masse d’eau me sort de la chambre humide (compression du ressort) et une autre masse d’eau me à la température TA entre dans la chambre humide. La puissance reçue par l’eau de la chambre humide s’écrit PA = KA (TA − T).
TA correspond à la température du milieu extérieur (température de l’eau de mer). On donne K/KA = 0, 071.
Pour évaluer la température de l’eau contenue dans la chambre humide, nous allons nous placer en régime stationnaire et faire un bilan de puissance.
Ecrire le bilan de puissance c’est à dire la relation entre P et PA. Exprimer la température T dans la chambre humide.

P+PA =0 ;
K (T − T0) + KA (TA − T) =0 ; K/KA (T − T0)=T-TA ; T(1-K/KA )=K/KA T0-TA ; T =(K/KA T0-TA) / (1-K/KA ).
A partir de quelle température ambiante l’eau dans la chambre humide risque-t-elle de geler ? Ce probl`eme est-il fréquemment rencontré en plongée ? De quels autres facteurs dépend ce problème de givrage ? Proposer des solutions pour palier ce problème.
T =(0,071 *173-TA) / (1-0,071)=(12,28-TA) /0,929 =11,4-1,076 TA.
L'eau commence à geler à T=0°C : TA =11,4 / 1,076 =10,6°C.
Le givrage dépend également de la profondeur et de la pression  régnant dans la bouteille.
Ce problème peut être rencontré en plongée : on peut mettre un autre fluide dans la chambre humide ou utiliser un détendeur à chambre sèche.





  

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