La houle, effet Doppler, satellite, chauffe-eau solaire. Concours ENSM 2014

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La houle.
La figure ci-dessous représente la déformation de l’interface entre l’eau composant l’océan et l’atmosphère causée par la houle. Cette dernière constitue une onde qui se déplace à la vitesse v.

Quel phénomène naturel est à l’origine de la création de la houle ? Quelles grandeurs de ce phénomène
conditionnent les caractéristiques des vagues
?.
La houle est constituée de vagues formées par le vent, qui peuvent se propager sur de grandes distances et donc être observées dans des régions dépourvues de vent. Les caractéristiques des vagues dépendent de la vitesse, de la direction du vent, de la profndeur de l'océan, des obstacles rencontrés.
On note la longueur d’onde de la houle par la lettre l, repérer sur la figure cette périodicité spatiale.
Distance entre deux maximas consécutifs.
Quelle relation lie la longueur d’onde l, à la vitesse de propagation v et à la périodicité temporelle T ?
l = v T.
Les grandeurs caractéristiques de cette onde (longueur d’onde, vitesse, période) sont liées à la profondeur de l’océan par les courbes données.

Au large la profondeur de l’océan est de 3800 m, déterminer la vitesse et la période des vagues si la longueur d’onde est de 350 m. Vérifier la cohérence de vos résultats avec la relation établie.
T = 15 s et v = 23,5 m/s ; vT = 15*23,5 =352,5 ~3,5 102 m.
Ces mêmes vagues s’approchent de la côte avec une profondeur d’eau de 10 m, que deviennent leur vitesse et leur longueur d’onde ?
La fréquence, donc la période ne changent pas : v = 10 m/s et l ~150 m.
Les caractéristiques de la houle peuvent être également déterminées par deux relations d’approximation :
Pour les eaux profondes, les ondes sont dites « courtes » et dans ce cas v = (gl/(2p))½.
Pour les eaux peu profondes, les ondes sont dites « longues » et dans ce cas v = (gD)½ avec g=9,81m.s-2.
Retrouver la vitesse et la période des vagues se situant au large en exploitant ces relations.
v =(9,81 l /6,28)½ ~1,25 l½ ; v = l/T = l /15 ; 
l /15 =1,25 l½ ; l½ = 1,25*15 =18,75 ; l = 352  ~3,5 102 m et v = 352/15 ~23,4 ~23 m/s.
 Retrouver de la même façon la vitesse et la longueur d’onde des vagues se situant à proximité de la côte.
v =(9,81*10)½ = 9,9 m/s ; l = v T = 9,9 *15 =148,5 ~1,5 102 m.




La carte représente les lignes isochrones espacées d’une heure de la vague relative au tsunami de Sumatra (Indonésie) qui s’est produit le 26 décembre 2004.

Donner une raison permettant d’expliquer que les lignes isochrones de la vague ne sont pas parfaitement circulaires ?
L'existence d'iles ( donc de faibles profondeurs ) conduit àla modification de la vitesse de prpagation de la houle.
Donner une raison permettant d’expliquer que les lignes isochrones de la carte sont très déformées par exemple à l’ouest de l’Inde et au sud de l’Australie ?
Le relief de la côte et les iles peuvent provoquer un phénomène de diffraction des ondes.

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Effet Doppler.
Un véhicule de pompier se déplaçant sur une route rectiligne est animé d’un mouvement uniforme de vitesse v. Sa sirène est actionnée et émet un son de fréquence f.

Un observateur immobile sur le bord de la route constate que la fréquence f’ du son perçu varie lors du passage du véhicule.
De quel phénomène s’agit-il ? Effet Doppler.
Relation mathématique liant f ’ à f lorsque le véhicule s’approche de l’observateur :
On note T la période de la source sonore et T ’ la période du son reçu. Considérons le son émis par la source à l’instant t = 0. Le son se propage et atteint le piéton situé à la distance d du véhicule.
On rappelle que la vitesse du son dans l’air est c=340m/s.
Quelle durée τ met le son émis à l’instant t=0 pour atteindre le piéton ? t = d/c.
On se place maintenant à l’instant t=T, quelle durée t’ met le son émis à cet instant pour parcourir la nouvelle distance véhicule-piéton ? t' = T+(d-vT)/c.
Quelle est la relation entre t', t, T et T ’ ? T ' = t -t' = T+(d-vT-d) /c =T -vT/c = T (1-v/c).
En déduire que : f ' = f/(1-v/c).
1/T ' = 1/ T ( 1/(1-v/c) ; f ' = f /(1-v/c).
Que devient la formule précédente lorsque le véhicule s’éloigne. f ' = f /(1+v/c).
Applications numériques :
La sirène utilisée est du type bi-ton, c'est-à-dire qu’elle émet alternativement deux fréquences f=f1=435 Hz et f=f2=488 Hz.
Sachant que la vitesse est de 60 km/h, calculer les fréquences f ’1et f ’2 entendues par le piéton dans les deux situations suivantes :
 A l’approche du véhicule. v/c = 60/(3,6*340)=0,049 ;  f '1 = 435/(1-0,049) =457 Hz ; f '2 = 488/(1-0,049) =513 Hz.
 A l’éloignement du véhicule : f '1 = 435/(1+0,049) =415 Hz ; f '2 = 488/(1+0,049) =465 Hz.
Cas où le piéton n’est pas situé sur la trajectoire du véhicule (le véhicule se rapproche de l’observateur) :
On considère maintenant que le véhicule ne se déplace pas sur la route empruntée par le piéton mais sur une route parallèle située à d’=50 m. Sa vitesse reste v=60 km/h.

La sirène émet la fréquence f 1=435 Hz en se rapprochant du piéton, quelle est la fréquence f ’1 reçue lorsque d=100 m et lorsque d=60m ?
f '1 =435 /[1-( 0,049(104-2500)
½/100] =454 Hz ; f '1 =435 /[1-( 0,049(602-2500)½/100] =442 Hz.
Lors de l'approche le son devient de moins en moins aigu.



Satellite géostationnaire.
La mise en orbite d’un satellite géostationnaire grâce à un lanceur (comme Ariane 5) se fait en plusieurs étapes. A l’issue de la phase de lancement, le satellite acquiert une orbite circulaire provisoire à basse altitude qui
correspond approximativement à l’altitude de fin de combustion du deuxième étage du lanceur (h1=200 km). On relance alors la propulsion grâce à la combustion du troisième étage du lanceur. La vitesse du satellite
varie brusquement et tangentiellement et le satellite acquiert une orbite elliptique dite de transfert. A cet instant, le satellite se situe au périgée P de l’orbite de transfert. Au passage à l’apogée A de cette orbite situé à une altitude h2 = 35 786 km, on relance de nouveau la propulsion grâce à un moteur-fusée à ergols solides ou liquides intégré au satellite (moteur d'apogée). La vitesse du satellite varie brusquement et tangentiellement et le satellite acquiert son orbite circulaire définitive dite orbite géostationnaire.

L’étude de la mise en orbite géostationnaire du satellite assimilé à un point matériel S de masse m se fera dans le référentiel géocentrique supposé galiléen muni d’un repère de Frenet lié au satellite S.
Données : Masse de la Terre : MT = 5,97 1024 kg ; Rayon de la Terre : RT = 6371 km ; Constante de gravitation universelle : 6,67 10-11 m3.kg-1.s-2.
Donner l’expression de la force d’attraction gravitationnelle exercée par la Terre sur le satellite S en orbite circulaire de rayon r dans le repère de Frenet.
Laforce est centripète. F =G m MT / r2 avec m la masse du satellite.
En déduire l’expression du vecteur accélération du satellite.
L'accélération est centripète : a =
G MT / r2.
Montrer que le mouvement du satellite est circulaire uniforme et démontrer l’expression de la vitesse du satellite. La calculer lorsque le satellite est en orbite circulaire basse puis en orbite circulaire géostationnaire.
La force centripète est à chaque instant perpendiculaire à la vitesse. Cette force ne travaille pas ; l'énergie cinétique et en conséquence la norme de la vitesse sont constantes. Le mouvement est uniforme.


v1 = (
6,67. 10-11 * 5,97.1024 /(6,371.103 +200)103))½ =7,78 103 m/s.
v2 = (
6,67. 10-11 * 5,97.1024 /(6,371.103 +35786)103))½ =3,00 103 m/s.
En déduire l’expression de la période de révolution du satellite T autour de la Terre en fonction de la masse de la Terre MT, du rayon de la Terre RT, de l’altitude du satellite h et de la constante de gravitation universelle G.
v T = 2p(RT+h) ; v2T2 =4p2
(RT+h)2 ; GMT/(RT+h) T2 =4p2(RT+h)2 ; T2 =4p2(RT+h)3 /(GMT).
Enoncer la troisième loi de Képler dans le cas d’une trajectoire elliptique du satellite. Que devient l’expression de cette loi dans le cas particulier de la trajectoire circulaire ?
Le carré de la période est proportionnel au cube du demi grand axe de l'ellipse. Dans le cas d'une trajectoire circulaire, remplacer le demi-grand axe de l'ellipse par le rayon du cercle.
Déterminer la valeur de la constante k de la troisième loi de Képler.
k =
4p2 /(GMT) = 4*3,142 /(6,67. 10-11 * 5,97.1024) = 9,91 10-14 s2 m-3.
En déduire la durée du transfert minimale du satellite entre son orbite basse et son orbite géostationnaire.

Le satellite parcourt la moitié de l'ellipse entre A et P2. La durée du parcourt est la moitié de la période de révolution T sur l'ellipse.
Dans le cas d’une trajectoire elliptique autour de la Terre, la période de révolution T d’un satellite est lié à la longueur L du demi-grand axe de son orbite par la relation : T 2 = k. L3.
L = (h1+h2)/2 +RT =(35786+200)*1000/2+6,371 106 = 2,436 107 m.
T2 =
9,91 10-14 *(2,436 107 )3=1,43 109 ; T = 3,786 104 s ; durée de transfert : ½T = 1,89 104 s ou 5,3 heures.

Chauffe-eau solaire.
 Le capteur solaire est constitué d’une paroi noire située dans une boîte fermée par une plaque de verre, sa surface est de 2,0 m².
L’énergie solaire captée par la paroi noire est transférée en grande partie au fluide caloporteur du circuit primaire, puis à l’eau sanitaire située dans le ballon de stockage.
Données : Masse volumique de l’eau : reau = 1000 kg.m-3. Capacité thermique massique de l’eau : ceau = 4180 J.kg-1.K-1. Volume de la cuve du ballon de stockage d'eau chaude : V = 200 litres.
Un essai d’utilisation d’une heure de cet appareil, pendant une période ensoleillée, a permis de chauffer l’eau sanitaire initialement à une température de 15°C à une température de 22°C.
Identifier le mode de transfert de l’énergie solaire au panneau solaire, de l’énergie thermique du fluide caloporteur à l’eau sanitaire.
Dans le panneau solaire : transfert par rayonnement ; transfert par conduction entre le fluide caloporteur et l'eau sanitaire.
Calculer l’énergie reçue par l’eau sanitaire pendant la période d’essai.
Q = mceau Dq= 200*4180*(22-15)=5,852 106 ~5,9 106 J.
La puissance solaire surfacique reçue par le capteur est estimée à 1,0 kW.m-2. Calculer le rendement du chauffe-eau.
Q/énergie solaire reçue = 5,9 106 / (2 103*3600)=0,81.
Après plusieurs heures de fonctionnement, l’eau sanitaire est chauffée à 65°C. Le ballon de stockage est situé dans une pièce chauffée à 18°C. Afin d’éviter les pertes thermiques, le ballon de stockage est calorifugé : les parois de la cuve supposées planes en acier inoxydable d’épaisseur 1,5 mm sont doublées d’une épaisseur de 50 mm de polyuréthane puis d’une paroi en acier galvanisé de 0,5 mm d’épaisseur. On évalue à 2,3 m² la surface de la cuve.
La résistance thermique Rth d’un matériau plan de surface S et d’épaisseur e est donnée par la relation : Rth = e/(lS).
La résistance thermique d’une paroi constituée de plusieurs matériaux accolés est égale à la somme des résistances thermiques de chaque matériau.
Calculer le flux thermique cédé par le ballon de stockage à la pièce puis l’énergie transférée du ballon vers la pièce pendant une heure. On admettra comme approximation que les températures
intérieure et extérieure au ballon restent constantes pendant cette durée et que les surfaces internes et externes du ballon de stockage sont identiques.
RTh totale = Rth acier inox + Rth polyuréthanex + Rth acier galva =(einox / linox+epolyuréthane / lpolyuréthane+egalva / lgalva) / S.
RTh totale =(1,5 10-3 / 26+0,050 / 0,026 + 5 10-4 / 48) / 2,3 = (5,77 10-5 +1,92 +1,04 10-5) / 2,3 ~ 0,8348 ~0,83 K W-1.
Flux thermique : F = Dq / Rth totale = (65-18) / 0,8348=56,3 ~56 W.
Energie transférée à la pièce en une heure : 56,3 *3600 ~2,0 105 J.
Quelle serait la baisse de température de l’eau sanitaire pendant cette durée. L’approximation précédente est-elle justifiée ?
2,0 105 / (mceau)=2,0 105 /(200*4180)=0,24 °C. L'approximation précédennte est justifiée.



  

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