Voiture électrique, transfert thermique lors du freinage, résistance thermique. Concours Avenir 2014


Une voiture de sport entièrement électrique est équipée d’une batterie de capacité énergétique E = 90 kWh. Sa vitesse de pointe est de 200 km/h et son moteur délivre alors une puissance P = 300 kW (soit 400 ch). Son autonomie annoncée, en utilisation courante, est de 500 km.
On étudie d’abord le comportement du véhicule aux limites de ses performances.
La voiture est lancée à sa vitesse maximale. On considère que la consommation d’énergie pendant la phase de lancement à la vitesse de 200 km/h est négligeable devant toute la phase où elle roule à sa vitesse de pointe. La durée nécessaire pour décharger la batterie est :
Dt = E/P ( exact ) ; Dt = P/E ; Dt = P E ; Dt =1/(PE).
E est une énergie en kWh et P une puissance en kW ; E/P a la dimension d'un temps.
En négligeant la distance parcourue pendant la phase de lancement, dans ces conditions, l’autonomie Dmax de la voiture est : 15 km ; 30 km ; 60 km ( exact ) ; 90 km.
E/P = 90/300 = 0,3 heure ; Dmax = 200*0,3 = 60 km.
On cherche maintenant quelle est la vitesse moyenne de la voiture lorsqu’elle dispose d’une autonomie Dmax = 500 km. On estime que 77 % de l’énergie de la batterie est convertie en énergie mécanique (un rendement excellent par rapport aux moteurs thermiques !). Cette énergie correspond au travail Wmoteur fourni par la force motrice du moteur. Cette force sera supposée de valeur constante tout le long de la distance Dmax.
La force motrice Fmoteur, supposée constante, est :
Fmoteur = Wmoteur / Dmax ( exact ) ;
Fmoteur = Wmoteur  Dmax ;
Fmoteur =  Dmax / Wmoteur Fmoteur =  1/(Dmax  Wmoteur ).
Un travail est une force fois un déplacement.
La force motrice moyenne est donc Fmoteur = 500 N. On estime par ailleurs que l’ensemble des frottements qui s’exercent sur la voiture, durant son trajet à vitesse stabilisée, est assimilable à une force de frottement unique dont l’expression est Ffrottement = l v2l est un coefficient de proportionnalité et v la vitesse du véhicule.
La dimension du coefficient de frottement l est :
- sans dimension ; -[l]= MT-2 ( unité correspondante kg s-2 )
-[l]= ML-1 ( unité correspondante kg m-1 ). ( exact ).
-[l]= ML-1T-2 ( unité correspondante kg m-1 s-2 ).
l est une force divisée par une vitesse ; une force est une masse fois une accélération.
[F] = MLT-2 ; [v2] =L2T-2 ; [F / v2]= M L-1.
On détermine par ailleurs la valeur de l : l = 1,7 unité S.I. La vitesse moyenne de la voiture sur le trajet Dmax = 500 km est : v = 1,7 / 500 = 34 m/s ; v = (500*1,7)½ =29 m/s ;
v = (500/1,7)½ =17 m/s ( exact ) ; - il manque une information reliant Fmoteur et Ffrottement.
A vitesse constante, Fmoteur = F frottement = 500 N ; v =(Fmoteur / l)½ =(500/1,7)½ =17 m/s.



Dans cet exercice, on recherche quelles caractéristiques donner aux disques de freins d’une voiture pour qu’ils évitent de s’échauffer trop violemment au cours d’un freinage d’urgence.
On détermine que l’énergie cinétique maximale de la voiture, lancée à sa vitesse maximale (210 km/h), est de l’ordre de Emax = 1,8 MJ.
La masse de la voiture étant de l’ordre de m = 1000 kg, la vitesse retenue pour ce calcul est :
v = 2Emax / m ; v = Emax / (2m) ;  v = (2Emax / m)½ ( exact ) ; v =(Emax/(2m))½.

Les disques de freins des véhicules de série sont en fonte, un matériau bon marché et résistant. La capacité thermique massique de la fonte est C = 500 J.kg–1.K–1. Pour éviter une usure prématurée des disques, on doit éviter de dépasser la température de 900 °C. Au cours d’un freinage d’urgence, une grande partie de l’énergie cinétique du véhicule est dissipée en chaleur au niveau des freins. On considère ici que chaque disque de frein absorbe une chaleur Q = Ecinétique / 4.
La relation entre la chaleur Q, la masse m’ du disque et la variation de température DT est :
m' = Q / (CDT) ( exact ) ; m' = QC DT ; m' = C /(QDT) ; m' = QDT/C.
On déduit de ce calcul que la masse de chacun des disques de freins doit être de l’ordre de m’ = 1 kg. Quand la voiture passe de 72 km/h (20 m.s–1) à l’arrêt (freinage d’urgence), l’élévation de la température des freins (en négligeant les autres sources de dissipation) est : 50 K ; 100 K( exact ) ; 200 K ; 400 K.
Emax = ½mv2 = 0,5*1000 *202 = 2,105 J.
Q = 0,25 Emax = 2 105 / 4 = 5 104 J.
DT = Q/(m'C) =5 104 / (1*500) =100 K.

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Un jour d’hiver, on veut maintenir à Tint = 20 °C un bureau sans fenêtre alors que la température extérieure est Text = 0 °C. La surface du mur extérieur est S = 8 m2.
 La résistance thermique d’un matériau d’épaisseur e, de surface S et de conductivité thermique l (en W.m-1.K-1) est :
Rth =S e / l ;
Rth = l e / S ; Rth =S / ( l e) ; Rth = e / (l  S). ( exact ).
Pour calculer la résistance thermique totale d’un ensemble, on se réfère aux deux règles suivantes :
- quand plusieurs matériaux sont superposés sur une même surface, la résistance thermique totale est la somme des résistances thermiques de chaque matériau.
- quand un mur est constitué de différents panneaux, l’inverse de la résistance thermique totale est la somme des inverses des résistances thermiques de chaque panneau :
1/Rth totale = 1/ Rth panneau1 + 1/Rth panneau2.
La résistance thermique d’un mur de béton recouvert, sur sa face intérieure, d’une épaisseur notée e de polystyrène extrudé est :
Rmur = Rbéton + Rpolystyrène ; (exact).
Rmur = 1/Rbéton + 1/Rpolystyrène. ( Faux, formule non homogène ).
Rmur= Rbéton  Rpolystyrène /(Rbéton + Rpolystyrène ).
Aucune des expressions ci-dessus ne convient.
Le flux thermique F est :
 proportionnel à l’écart de température entre les faces du mur ( exact )
 proportionnel à la résistance thermique du mur
 inversement proportionnel à l’épaisseur de polystyrène
 inversement proportionnel à la surface du mur
Dans une autre pièce dont les dimensions sont identiques à la première, le mur extérieur est cette fois percé d’une fenêtre, de surface S’ = 1 m2. On calcule séparément la résistance thermique de la fenêtre, notée Rfenêtre, et celle du reste du mur (béton recouvert de polystyrène), notée Rmur.
La résistance thermique totale du mur (S = 8 m2, fenêtre incluse) est :
Rtotale = Rmur + Rfenètre ;
Rtotale = 1/Rmur + 1/Rfenètre. ( Faux, formule non homogène ).
Rtotale= Rmur  Rfenètre /(Rmur + Rfenètre ). ( exact ).
Aucune des expressions ci-dessus ne convient





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