L'appareil photo numérique. Concours Avenir 2014


Un smartphone du marché, équipé d’un appareil photo, possède un objectif composé d’une lentille de diamètre a = 1 mm. À l’intérieur du boîtier de l’appareil, un capteur de 8 mégapixels et de surface 16 mm2 est situé à une distance D = 2,8 mm de l’objectif. La diffraction, due à la taille de la lentille, limite la résolution de l’appareil photo.
 L’exercice permettra de comparer la taille de la tache principale de diffraction et la taille d’un pixel

Avec l la longueur d’onde de la lumière incidente, l’ouverture angulaire q de la tache centrale de diffraction (la tache d’Airy) est : q = l/D ;
q = l/a (exact ) ; q = D /l ;q = a /l .
Pour cet appareil photo, la diffraction est un peu moins prononcée dans le cas d’une lumière :
violette ( exact ), verte, jaune, rouge.
q est proportionel à l ; lviolet < l vert < l jaune < lrouge.
La tache d'Airy sera la plus petite pour la lumière violette.
La longueur d’onde moyenne du spectre visible est de l’ordre de :
5 10-6 m ; 5 10-7 m (exact) ; 5 10-8 m ; 5 10-9 m.
Les longueurs d'onde de la lumière visible sont comprises entre 0,4 µm et 0,8 µm soit  4 10-7 m et 8 10-7 m.
L’angle q étant petit, on fait l’approximation que tan q ~ q. Le diamètre d de la tache centrale de diffraction correspondante, au niveau du capteur, est :
d = l a/D ; d = Da / l ; d = l D/a ( exact ) ; d = 4/(l D).
D'une part q = l / a ; d'autre part tan q ~ q =d / D ; d'où d =l D / a.

Le diamètre moyen d de la tache est : 1,8 nm ; 1,4 µm ( exact ); 1,8 µm ; 5,6 µm.
l = 5 10-7 m ; a = 10-3 m ; D = 2,8 10-3 m ; d = 5 10-7 *2,8 10-3 / 10-3= 1,4 10-6 m = 1,4 µm.
La surface S d’un pixel est ( en m2) :
2 10-12 ( exact ) ; 2 10-9 ; 2 10-6 ; 2 10-3.
16 mm2 = 1,6 10-5 m2 ; 8 mégapixels = 8 106 pixels ; 1,6 10-5 /(8 106 ) = 2 10-12 m2.



À la sortie du capteur, la photo est codée en une suite de nombres. Dans l’encodage « RGB 24 bits » le plus standard (ou RVB), chaque pixel est représenté par 3 nombres de 0 à 255, représentant les intensités lumineuses respectivement de la composante rouge, verte et bleue, de la lumière captée.
Dans ce type de codage, un pixel représenté par les nombres (255,255,0) correspond à une lumière :

jaune ( exact ) ; cyan ; magenta ; grise.
Le vert et le rouge ont la même intensité ; le bleu est absent. Le mélange du vert et du rouge donne du jaune en synthèse additive.
En l’absence de compression numérique, la taille (en mégaoctets) du fichier (Bitmap) contenant la photo, est :
4 Mo ; 8 Mo ; 16 Mo ; 24 Mo ( exact ).
Chaque pixel est codé sur 3 octets ; 8 mégapixels sont codés sur 8*3 = 24 Mo.

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On règle le taux de compression de manière à obtenir un fichier JPEG de 4 Mo.
On envoie ce fichier par mail depuis le téléphone mobile, au moyen d’une connexion à un réseau hertzien de quatrième génération (LTE ou « 4G ») dont le débit est d’environ 40 Mbps (mégabits par seconde).
La durée théorique du transfert des données (hors durée d’accès au serveur) est : 0,1 s ; 0,8 s ( exact ) ; 5 s ; 20 s.
1 octet correspond à 8 bits ; 4 Mo correspondent à 8*4 = 32 mégabits. 32 /40 = 0,8 s.
Le signal reçu est la somme {signal à transmettre + bruit}. Pour pouvoir le décoder correctement, il faut que le rapport en dB signal / bruit soit au moins de 20 dB. Le rapport entre la puissance du signal reçu et la puissance moyenne des parasites (le bruit) doit être au moins : (on rappelle que log 10n = n).
2 ; 10 ; 20 ; 100 ( exact ).
10 log ( Psignal) / Pbruit) = 20 ;
log ( Psignal) / Pbruit) = 2 ; Psignal) / Pbruit = 100.
Le signal reçu est amplifié 10 fois. Le nouveau rapport en dB signal / bruit est de :
20 dB (exact ) ; 23 dB ; 30 dB ; 200 dB.
P signal amplifié= 10 (Psignal + Pbruit) ; on amplifie de la même manière le signal et le bruit, donc
Psignal) / Pbruit)  reste inchangé.



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