Temps caractéristiques de quelques systèmes : sujet ASPF ( acueil, savoir, partage, francophonie) 2008

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Décroissance radioactive

Un échantillon de matière radioactive est placé dans la chambre d 'un photomultiplicateur. Un détecteur, associé au photomultiplicateur, mesure un nombre d'événements, pendant une durée Dt déterminée. On trace la courbe d'évolution du nombre d'événements mesuré par seconde (noté x), au cours du temps. Soit x0 la valeur de x à l'instant choisi pour origine des dates. On réalise des mesures avec des échantillons de radon22086Rn et de radon 22286Rn qui sont des émetteurs a.
Le tableau ci-dessous résume les conditions expérimentales de cette étude:

expérience1
expérience 2
expérience3
Grandeurs caractéristiques du système :nature du noyau
radon 220
radon 220
radon 222
Conditions initiales : population initialede noyaux radioactifs N0 différent N0' différent N0''
N0
N0'
N0''
Paramètres extérieurs
Aucune modification des paramètres extérieurs
Temps caractéristique
t½ =55,5 s
t½ =55,5 s
t½ = ??
  Les courbes correspondant à cette étude et donnant l'évolution de x au cours du temps sont représentées :
Temps caractéristiques de quelques systèmes : sujet ASPF ( acueil, savoir, partage, francophonie) 2008

Définir le temps de demi-vie (ou demi-vie).
 La demi-vie ou période est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés.
La loi de décroissance radioactive s'écrit sous la forme N = N0 e-lt où :
N est le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant de date t, N0 est le nombre de noyaux radioactifs présents à l'instant choisi pour origine des dates t0 = 0 s, l est la constante radioactive.
 En utilisant la définition du temps de demi-vie, établir l'expression de l en fonction de t½.
½N0 = N0 exp (-lt½) ; ½ = exp (-lt½) ; ln½ = - lt½ ; - ln 2 = - lt½ ; ln2 = lt½.
Dans le cas de l'expérience 3, déterminer graphiquement la valeur du temps de demi-vie. Pour cette détermination, on admettra que le nombre d'événements détectés par seconde, à l'instant de date t, est proportionnel au nombre de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon, à cette méme date. Pour déterminer le temps de demi-vie, on peut alors utiliser la courbe x = f (t) de la même façon que celle représentant le nombre de noyaux radioactifs présents dans l'échantillon en fonction du temps.

En justifiant les réponses à partir des données du tableau et du résultat obtenupréciser :
- Si les grandeurs caractéristiques ont une influence sur la valeur du temps de demi-vie ;
- Si les conditions initiales ont une influence sur la valeur du temps de demi-vie.
D'après les courbes 1 et 3 ou 2 et 3, t½ dépend de la nature du noyau radioactif.
D'après les courbes 1 et 2, t½ ne dépend pas du nombre initial de noyaux.



Application de la décroissance radioactive : datation au carbone 14.
En 1983 fut découverte l'épave d'un drakkar dans la vase du port de Roskilde (à l'ouest de Copenhague). Pour valider l'hypothèse que ce navire est d'origine viking, une datation au carbone 14 est réalisée sur un échantillon de bois prélevé sur sa coque. L'activité A mesurée pour cet échantillon est de 12,0 désintégrations par minute et par gramme de carbone. Or l'activité pour 1 gramme de carbone participant au cycle du dioxyde de carbone de l'atmosphère est
A0 = 13,6 désintégrations par minute.
On rappelle que, par définition : A = -dN/dt= l N(t) où N(t) est donné par la loi de décroissance radioactive. La constante radioactive l pour la désintégration du carbone 14 est l = 1,24.10-4 an-1.
Calculer le temps t écoulé entre la date de fabrication du bateau et la date de découverte de l'épave.

A(t) = A0 e-lt  ; ln(A0/A(t) = lt ; t = ln(A0/A(t) / l =ln(13,6 / 12,0) / 1,24.10-4 =1009 ~1,01 103 ans.
Déterminer l'année de construction du bateau.
2008-1009 =999.
La période Viking s'étend du VIIIè siècle au XIème siècle.
L'hypothèse que le bateau est d'origine Viking est-elle vérifiée ?
L'hypothèse d'un bateau d'origine Viking est bien vérifiée.

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Chute avec frottements

À partir d'une même position de l'espace, on réalise dans deux fluides différents, la chute verticale sans vitesse initiale de solides de petites dimensions, de même forme, de même volume, mais de masses différentes. On filme la chute et un dispositif informatique permet de tracer la courbe donnant l'évolution de la vitesse v du centre d'inertie du solide en fonction du temps.
À chaque nouvelle expérience, on ne change qu'une seule des conditions expérimentales. Le tableau ci-dessous résume les conditions expérimentales de cette étude :

expérience 1 : solide A
expérience 2 : solide A
expérience 3 : solide B
Grandeurscaractéristiques du système
volume V
volume V
volume V
masse m
masse m
masse m' différente de m
Conditions initiales :Position initiale,Vitesse initiale
Aucune modification des conditions initiales
Paramètres extérieurs
fluide : eau
fluide : détergent
fluide : eau
Temps caractéristique
t1 = 0,21 s
t2 = 0,15 s
t3 = ??
Les courbes correspondant à cette étude et donnant l'évolution de la vitesse v au cours du temps sont représentées :

Dans le référentiel du laboratoire, supposé galiléen, écrire la 2ème loi de Newton pour le solide de masse m. Ecrire l'équation différentielle vérifiée par la vitesse.
On admettra qu'en présence de fluide, tout se passe comme si le solide avait un poids m*g < mg (poids apparent, le fluide "porte" le solide). Le fluide exerce par ailleurs sur le solide une force de frottement, de la
forme f =kv où est la vitesse du solide et k une constante positive.

La solution de l'équation différentielle précédente est de la forme : v = vlim(1-e-t/t) où vlim est la vitesse limite atteinte au bout d'un temps très long et t le temps caractéristique de l'évolution.
En utilisant l'équation différentielle du mouvement, déterminer la relation entre vlim et les paramètres k, m* et g.
vlim = constante ; dvlim/dt = 0 : k/m vlim = m*/mg soit vlim = m*g/k.
Déterminer, à partir de l'expression de la fonction v(t), la valeur de la dérivée en t = 0, en fonction de vlim et t.
dvlim/dt =0 = vlim / t e-t/t ; à t=0 : [dvlim/dt]0=vlim / t.
Puis l'équation y(t) de la tangente à la courbe v(t) en t = 0.
y(t) = [dvlim/dt]0 t = vlim / t t.
En déduire une méthode de détermination graphique du temps caractéristique t et le déterminer dans le cas de l’expérience 3. La détermination devra apparaître clairement sur la courbe.





En justifiant les réponses à partir des données du tableau et du résultat obtenu à la question 13, préciser :
- si les grandeurs caractéristiques ont une influence sur la valeur du temps caractéristique ;
- si les paramètres extérieurs ont une influence sur la valeur du temps caractéristique.
Expériences 1 et 2 : le temps caractéristique dépend de la nature du liquide ( paramètre extérieur ).
Expériences 1 et 3  : le temps caractéristique dépende de la masse m du solide ( grandeur caractéristique).
Lors de la chute verticale d’un solide dans un fluide, le mouvement comporte deux phases :
1- une première phase correspondant au « régime initial » ;
2- une seconde phase correspondant au « régime asymptotique».

En justifiant la réponse, préciser sans calcul la nature du mouvement du centre d’inertie du solide en chute
:
1- au cours du régime initial ;
La vitesse croît de zéro à une valeur limite : le mouvement est rectiligne accéléré.
2- au cours du régime asymptotique.

La valeur de la vitesse est constante : le mouvement est rectiligne uniforme.



  

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