La plongée sous marine : ondes acoustiques en milieu marin, protection thermique : Agrégation interne 2014.

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Ondes acoustiques en milieu marin.
L’eau est considérée ici comme un milieu fluide suffisamment compressible pour que lui soit associé un coefficient de compressibilité isentropique cs défini par :, µ est la masse volumique et P la pression.
μ
Justifier l’hypothèse d’une « transformation isentropique » dans le cas de la propagation d’une onde sonore.
La transformation est réversible : les effets dus à la viscosité sont négligeables, le milieu marin étant suffisamment élastique et parfait.
La durée caractérisant les phénomènes de diffusion thermique est très supérieure à la durée caractérisant les variations au cours du temps des grandeurs étudiées : en conséquence la transformation est adiabatique.
Une transformation réversible et adiabatique est isentrope.
On considère une onde sonore se propageant dans un milieu fluide. On néglige les effets de la viscosité et de la pesanteur. En l’absence de l’onde, la masse volumique du milieu vaut µ0, la pression locale P0, et le fluide est au repos par rapport au référentiel terrestre supposé galiléen.
Lors du passage de l’onde, le fluide subit une petite perturbation qui modifie localement la masse volumique, la pression et la vitesse v d’une particule mésoscopique de façon suivante :

Les grandeurs scalaires ou vectorielles d’indice 1 sont des infiniment petits du premier ordre.
Rappeler les hypothèses de « l’approximation acoustique ».
Les équations peuvent être linéarisées :
le fluide en équilibre est perturbé par une onde sonore, mais les écarts des valeurs de P et µ sont  très faibles ( infiniment petits du premiers ordre ).
On rappelle l’équation locale de la conservation de la masse obtenue en mécanique des fluides :
Justifier en quoi cette équation traduit la conservation de la masse.
Soit une portion de fluide de section S et de longueur dx, soit j le vecteur courant, soit dm = µSdx la masse du volume dv = Sdx, soit d2m la variation de masse pendant dt, on va établir le bilan entre deux instants proches t et t+dt :

Par analogie avec l’équation locale traduisant la conservation de la masse, écrire deux autres équations locales de conservation rencontrées dans d’autres domaines et préciser pour chacune d’elles sa signification physique.
En électrocinétique et électromagnétisme : la charge se conserve.
Electromagnétisme dans le vide : l'énergie se conserve.
On rappelle l’équation d’Euler obtenue en mécanique des fluides :
Expliciter ce que traduit cette équation. Rappeler les hypothèses liées à sa validité.
Cette équation exprime la seconde loi de Newton à une portion de fluide.
Le premier terme est l'accélération locale, le second l'accélération convective et le terme de droite les forces volumiques. Dans le cas de l'onde acoustique la seule force volumique correspond au gradient de pression.
En utilisant l’approximation acoustique, linéariser les deux équations ci-dessus ainsi que l’expression de cs.

Établir l’équation aux dérivées partielles vérifiée par la surpression P1.

 En déduire l’expression de la célérité c de l’onde en fonction de µ0 et cs.
On identifie csµ0 à 1/c2 soit c = (csµ0).
Comparer les valeurs des célérités du son dans l’air ca, et dans l’eau, ce.
Dans l'air : ca = (0,7 10-5 *1,2) =345 ~3,5 102 m/s ;
dans l'eau :
ce = (5,0 10-10 *1,0 103) =1414 ~ 1,4 103 m/s.



Etude de la transmission d’un son à travers le dioptre air-eau.
On considère une onde acoustique sonore, plane de fréquence n se propageant dans l’air et arrivant perpendiculairement sur un plan d’eau supposé parfaitement plan. Chaque milieu, l’air et l’eau, est caractérisé par une impédance acoustique Z, avec Z =µ0c, µ0 et c étant respectivement la masse volumique du milieu au repos et la célérité du son dans ce milieu. On note avec l’indice « a » les grandeurs relatives à l’air, et avec l’indice « e » celles relatives à l’eau.
Les coefficients de réflexion RPs et de transmission TPs en puissance représentent la fraction de puissance sonore réfléchie et transmise à l’interface de deux milieux. Leurs expressions en fonction des impédances de chaque milieu Za et Ze sont :
Rps = [(Ze-Za) / (Ze+Za)]2 et Tps = 4ZeZa / (Ze+Za)
2 .
Conclure sur la conservation de l’énergie acoustique lors de la transmission d’une onde acoustique lors de la traversée d’un dioptre « eau-air ».
Ze =1,0 103 *1,4 103 =1,4 106 kg m2 s-1
Za =1,2 *345 =414 kg m2 s-1 ; 
Rps = [(1,4 106-414) / (
1,4 106+414)]2 =0,9994.
Tps = 4*
1,4 106 *414 / (1,4 106+414)2 =1,2 10-3.
Seulement 0,1 % de la puissance sonore est transmise à la traversée du dioptre eau-air.

Donner la signification de l’expression « adapter les impédances » et la condition que doivent remplir les impédances respectives des deux milieux pour qu’il en soit ainsi.
Pour une bonne transmission de la puissance à l'interface de 2 milieux, il faut que les impédances de chaque milieu soit du même ordre de grandeur.
Tps  est alors proche de 1.
 Citer un exemple où cette adaptation est recherchée.
En échographie, un gel est placé sur la peau ;  on utilise des pavillons acoustiques sur les instruments de musique.
On définit l’indice acoustique nac par :
nac = ca/ce.
Évaluer l’indice acoustique nac.
nac = 345 / (1,4 103) =0,25.
Pour une onde acoustique, expliquer à l’aide d’un schéma si le phénomène de réflexion totale s’observe pour un sens de propagation allant de l’air vers l’eau ou de l’eau vers l’air.
L'angle de réfraction est plus petit dans le milieu ou la vitesse est la plus faible.


Est-il efficace de rappeler des plongeurs en sifflant ou en agitant une cloche depuis le pont d’un bateau ? Pourquoi ? Proposer une meilleure méthode.
La transmission de l'onde sonore est quasiment nul  dans le sens air-eau. Il vaut mieux taper sur la coque sous la ligne de flottaison, plutôt que d'agiter une cloche.

.



Protection thermique.
Un plongeur (sans combinaison) dont la température interne est initialement qse déplace dans de l’eau à la température qsupposée uniforme et constante.
 Décrire en quelques lignes les processus possibles de transfert thermique entre le corps du plongeur et le milieu environnant.
Par conduction, transport de proche en proche du corps chaud vers le corps froid ; par convection ou déplacement, mouvement de matière ; transfert radiactif : le rayonnement électromagnétique transporte de l'énergie.
Donner sans calculs, mais en justifiant, la température du plongeur au bout d’un temps suffisamment long dans le cas où il n’y a aucune source interne d’énergie.
Sans source interne d'énergie, la température du corps du plongeur est égale à la température de l'eau au bout d'un temps suffisamment long ; l'équilibre thermique est atteint.
Pour maintenir sa température interne, le corps humain produit une puissance thermique Pth supposée constante. Les échanges entre la surface extérieure de la peau et le milieu fluide environnant, de température constante et uniforme Te, sont modélisés par un flux thermique F p-->e vérifiant une loi de la forme :
F p-->e = -K(Te-T), où K est un paramètre caractéristique, T la température absolue du plongeur, variable, et Te la température absolue du milieu extérieur.
Justifier que K s’appelle la « conductance thermique » du système.
Résistance thermique Rth = (T2-T1) / F1-->2 ;  K =
F p-->e /(T-Te). K est l'inverse d'une résistance, c'est donc une conductance.
La conductance thermique du plongeur sans combinaison est notée Kp.
Établir, en justifiant toutes les étapes, l’équation différentielle de l’évolution temporelle de la température T du plongeur supposée uniforme dans tout son corps.
On introduira cp la capacité thermique massique du plongeur et mp sa masse.
Pendant l'intervalle de temps dt :
variation de l'énergie interne du plongeur : mpcpdT ;
transfert thermique du corps vers l'eau : -Kp(T-Te)dt ;
énergie produite par le corps humain Pthdt ;
mpcpdT =Pthdt-Kp(T-Te)dt ; mpcpdT/dt +Kp(T-Te) =Pth.
dT/dt +Kp(T-Te)/ (mpcp) = Pth/(mpcp).
 En déduire l’évolution temporelle T(t) de la température du corps du plongeur.
On pose A =Kp/ (mpcp) ;  T(t)-Te = B exp(-At)  + Pth / Kp avec B une constante.
A t = 0, T = Tp :
Tp - Te = B+ Pth / Kp  ; B = Tp - Te- Pth / Kp ;
T(t)-Te =(Tp - Te- Pth / Kp )exp(-At)  + Pth / Kp ;
T(t) = Te +(Tp - Te- Pth / Kp )exp(-At)  + Pth / Kp.
Exprimer la constante de temps tth du phénomène et la calculer. Commenter le résultat.
tth = 1/A =
mpcp/Kp =75*4 103 / 16 ~1,9 104 s~5,2 h, valeur bien supérieure à la durée d'une plongée.
Montrer que la température limite Tlim atteinte par le corps est donnée par : Tlim = Te + Pth / Kp.
En régime permanent
dT/dt =0 ;  Kp(Tlim-Te)/ (mpcp) = Pth/(mpcp) ; Kp(Tlim-Te) = Pth.
Dans les mers tempérées : Tlim =20+120/16 =27,5 °C.
Dans les mers chaudes : Tlim =28+120/16 =35,5 °C.
Lorsque la température interne du plongeur atteint qhyp= 35°C, l’hypothermie peut devenir fatale. Le plongeur utilise donc une combinaison, caractérisée par une conductance Kcomb, qui
modifie la constante Kp en K’.
Justifier, en s’aidant éventuellement d’une analogie électrique, que K’ est telle que : 1/K' = 1/Kp + 1/Kcomb.
Le flux thermique sortant du plongeur traverse sa combinaison. Les résistances thermiques en série s'ajoutent. La conductance est l'inverse d'une résistance thermique.
L'inverse des conductances s'ajoutent. K' =
Kp  Kcomb /( Kcomb+ Kp).
Expliquer l’impact de la combinaison sur la constante de temps tth et la température Tlim.
t'thmpcp/K' =mpcp( Kcomb+ Kp)/ (Kp  Kcomb ) = tth ( Kcomb+ Kp) / Kcomb = tth ( 1+ Kp / Kcomb.
La constante de temps augmente.
T'lim = Te + Pth / K' = Te + Pth ( Kcomb+ Kp)/ (Kp  Kcomb ). Tlim croît.
 Commenter la pertinence du port d'une combinaison en eau tropicale, du point de vue du risque d'hypothermie.
En eau tropicale chaude, le plongeur ne risque par l'hypothermie : la combinaison n'est pas nécessaire.
Les combinaisons de plongée couramment utilisées pour des températures d’eau de mer tempérées ou tropicales, sont constituées à base de néoprène poreux d’épaisseur x (3 mm,
5 mm, ou 7 mm) dont on peut modéliser la conductance Kcomb par une loi du type : Kcomb = 0,1x-1 W K-1.
Choisir, en argumentant, parmi les trois valeurs proposées, l'épaisseur minimale x qui évite l'hypothermie dans une mer tempérée.
Tlim doit rester supérieure à 35°C.
T'lim - Te <35-20 ; T'lim - Te < 15 °C dans les mers tempérées.
Pth ( Kcomb+ Kp)/ (Kp  Kcomb ) < 15 ; Pth ( Kcomb+ Kp) < 15Kp  Kcomb.
120 (
0,1x-1 +16) <15 0,1x-1 *16 ; 7,5 (0,1x-1 +16) <1,5x-1 120 <( 1,5-0,75 )x-1 ;160 < x-1 ; x > 1/160 ; x >0,00625 m ; x > 6 mm.
Citer une autre raison pour laquelle il est recommandé de porter une combinaison pour pratiquer la plongée sous-marine, cela quelle que soit la température de l'eau.
La combinaison protège le derme.









  

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