Mathématiques : équation différentielle ( groupe B),  bts

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Résolution d'une équation différentielle.
On considère l'équation différentielle (E) : y' +(0,25x) y = 0,25 x
où y est une fonction inconnue de la variable x, définie et dérivable sur [0 , +oo[ et y' sa fonction dérivée.
  Déterminer les solutions, définies sur [0 ; +oo[ de l'équation différentielle (E0) :
y' +(0,25x) y =0.
On recherche une solution générale du type : y= A exp(B x2) où A et B sont des constantes.
Dériver : y' = 2AB x exp(
(B x2).
Repport dans E0 :
2AB x exp((B x2)+0,25x A exp(B x2)=0.
A x
exp(B x2) (2B+0,25) = 0  ; par suite B = -0,125.
y = A exp
(-0,125 x2).
Vérifier que la fonction constante h = 1, définie sur [0, +oo[ est une solution de (E).
La dérivée d'une constante est nulle : h'=0 ;
repport dans (E) : 0 +0,25 x =0,25 x est vérifiée quel que soit x.
h=1 est une solution particulière de (E).
En déduire les solutions de (E).
Les solutions de (E) sont obtenues en faisant la somme des solutions de (E0) et d'une solution particulière de (E) :
y = A exp(-0,125 x2) +1.
Déterminer la solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale F(0)=0.
F(0) = A exp(0) +1 = 0 ; A+1 = 0 d'où A = -1.
F = -
exp(-0,125 x2) +1.
Résolution d'une équation différentielle.
On considère l'équation différentielle (E) : y' +2 y = -5 exp(-2x)
où y est une fonction inconnue de la variable x, définie et dérivable sur R et y' sa fonction dérivée.
  Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E0) :
y' +2 y =0.
On recherche une solution générale du type : y= A exp(B x) où A et B sont des constantes.
Dériver : y' = AB exp(
(B x).
Repport dans E0 :
AB exp((B x)+2 A exp(B x)=0.
A
exp(B x) (B+2) = 0  ; par suite B = -2.
y = A exp
(-2 x).
Soit g la fonction définie sur R par g(x) = -5x exp(-2x).
Démontrer que la fonction g est une solution de (E).
On pose : u = -5x ; v =
exp(-2x) ; u'=-5 ; v' = -2 exp(-2x).
Dérivée d'un produit :
g' = u'v+v'u =-5 exp(-2x)+10x exp(-2x) = 5 exp(-2x) (-1+2x).
Repport dans (E) :
5 exp(-2x) (-1+2x) -10x exp(-2x) = -5 exp(-2x).
Simplifier :
-5 exp(-2x)= -5 exp(-2x), égalité vrai quel que soit x.
repport dans (E) : 0 +0,25 x =0,25 x est vérifiée quel que soit x.
g(x) est bien une solution de (E).
En déduire les solutions de (E).
Les solutions de (E) sont obtenues en faisant la somme des solutions de (E0) et d'une solution particulière de (E) :
y = A exp(-2 x) -5x exp(-2x) = (A-5x) exp(-2x).
Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale f(0)=1.
f(0) = A exp(0)  = 1  d'où A = 1.
f(x) =
(1-5x) exp(-2x).

 


Résolution d'une équation différentielle.
On considère l'équation différentielle (E) : y"-3 y'+2y = -2 ex+6.
où y est une fonction inconnue de la variable x, définie et dérivable sur R et y' sa fonction dérivée et y" sa dérivée seconde.
Résoudre dans R l'équation : r2-3r+2=0.
Discriminant D = b2-4ac avec a = 1, b= -3 et c=2.
D= 9-4*2 =1 ; D½ = 1 ; solutions r1 =(-b +
D½ ) /(2a) =(3+1)/2 = 2 ; r2 =(-b -D½ ) /(2a) =(3-1)/2 = 1.
  En déduire les solutions de l'équation différentielle (E0) :
y"-3 y'+2y =0.
y = A ex+B e2x avec A et B des constantes réelles.
Soit g la fonction définie sur R par g(x) =2x ex+3.
Calculer la fonction dérivée g'.
On pose u = 2x ; v =
ex ; u' =2 ; v' =ex  ;
Dérivée de
2x ex : u'v + v'u =2ex +2x ex =2ex (x+1).
La dérivée d'une constante est nulle. Par suite g' =
2ex (x+1).
Démontrer que la fonction g est une solution particulière de (E).
On pose u = x+1 ; v = 2ex ; u' =1 ; v' =2ex  ;
Dérivée d'un produit :
g" = u'v+v'u = 2ex +2(x+1)ex  =2(x+2)ex.
Repport dans (E) :
 2(x+2)ex -6ex (x+1)+2(2x ex+3) = -2 ex+6.
Simplifier :
-2 ex+6-2 ex+6, égalité vrai quel que soit x.
g(x) est bien une solution de (E).
En déduire l'ensemble des solutions de (E).
Les solutions de (E) sont obtenues en faisant la somme des solutions de (E0) et d'une solution particulière de (E) :
y = A ex+B e2x +2x ex+3.
Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E) qui vérifie les conditions initiales f(0)=2 et f '(0)=1.
f(0) = A e0+B e0 +3 = A+B+3=2 ; A+B = -1. (1)
f '(x) = 
A ex+2B e2x +2ex (x+1)
f '(0) =A+2B+2 =1 ; A+2B = -1. (2).
(2)-(1) donne B=0 ; par suite A = -1.
f(x) =
- ex +2x ex+3 = (2x-1)ex+3.

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Résolution d'une équation différentielle.
On considère l'équation différentielle (E) : y'-y = ex-2x.
où y est une fonction inconnue de la variable x, définie et dérivable sur R et y' sa fonction dérivée.
  Déterminer les solutions de l'équation différentielle (E0) :
y'-y=0.
y = A eBx avec A et B des constantes réelles.
Dériver : y' = AB
eBx  ; repport dans E0 : ABeBx -A eBx =0.
AeBx (B-1)=0 d'où B = 1 ; par suite y = A ex.
Soit g la fonction définie sur R par g(x) = x ex+2x+2.

Démontrer que la fonction g est une solution particulière de (E).
On pose u = x ; v =
ex ; u' =1 ; v' =ex  ;
Dérivée de 
x ex : u'v + v'u =ex +x ex =ex (x+1).
Par suite g' = 
ex (x+1)+2.
Repport dans (E) :
ex (x+1)+2-( x ex+2x+2) =ex-2x.
Simplifier :
ex -2x = ex-2x. Cette égalité est vérifiée quel que soit x.
En déduire l'ensemble des solutions de (E).
Les solutions de (E) sont obtenues en faisant la somme des solutions de (E0) et d'une solution particulière de (E) :
y = A ex+ x ex+2x+2.
Déterminer la solution f de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale f(0)=3.
f(0) = A e0+2 = 3 ; A+2=3 ; A=1.
f(x) = ex +x ex+2x+2 = (1+x)ex +2(x+1) = (x+1)(ex+2).





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