Mathématiques : équation différentielle, étude de fonction, probabilité ( groupe B),  bts 2013.

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Résolution d'une équation différentielle.
On considère l'équation différentielle (E) : y' +(0,25x) y = 0,25 x
où y est une fonction inconnue de la variable x, définie et dérivable sur [0 , +oo[ et y' sa fonction dérivée.
  Déterminer les solutions, définies sur [0 ; +oo[ de l'équation différentielle (E0) :
y' +(0,25x) y =0.
On recherche une solution générale du type : y= A exp(B x2) où A et B sont des constantes.
Dériver : y' = 2AB x exp(
(B x2).
Repport dans E0 :
2AB x exp((B x2)+0,25x A exp(B x2)=0.
A x
exp(B x2) (2B+0,25) = 0  ; par suite B = -0,125.
y = A exp
(-0,125 x2).
Vérifier que la fonction constante h = 1, définie sur [0, +oo[ est une solution de (E).
La dérivée d'une constante est nulle : h'=0 ;
repport dans (E) : 0 +0,25 x =0,25 x est vérifiée quel que soit x.
h=1 est une solution particulière de (E).
En déduire les solutions de (E).
Les solutions de (E) sont obtenues en faisant la somme des solutions de (E0) et d'une solution particulière de (E) :
y = A exp(-0,125 x2) +1.
Déterminer la solution de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale F(0)=0.
F(0) = A exp(0) +1 = 0 ; A+1 = 0 d'où A = -1.
F = -
exp(-0,125 x2) +1.
Etude d'une fonction.
Soit la fonction définie sur [0 , +oo[ par f(x) = (0,25 x) exp(-0,125 x2).
On désigne par C la courbe représentative de f dans un repère (O, i, j).
Quelle est la limite de f(x) quand x tend vers l'infini ?
exp(-0,125 x2) tend très rapidement vers 0 et 0,25 x tend plus lentement vers l'infini ; l'exponentielle est prépondérante pr rapport à 0,25 x : par suite f(x) tend vers zéro lorsque x devient très grand.
On peut encore dire que la droite d'équation y = 0 est asymptote à la courbe C quand x tend vers l'infini.
Démontrer que pour tout réel x de l'intervalle [0 , +oo[,  f '(x)=0,0625(2+x)(2-x) exp(-0,125x2).
On pose u = 0,25 x et v =
exp(-0,125x2).
u' = 0,25 ; v' = -0,25 x
exp(-0,125x2).
Dérivée d'un produit :
f '(x) = u' v + v' u = 0,25exp(-0,125x2)-0,25*0,25 x2 exp(-0,125x2)
f '(x)=0,25 exp(-0,125x2) (1-0,25 x2).
f '(x) =0,25/4 exp(-0,125x2) (4-0,25*4 x2).
f '(x)= 0,0625 exp(-0,125x2) (4-x2).
f '(x) = 0,0625 exp(-0,125x2) (2-x)(2+x).
 


En déduire le signe de f'(x) sur [0 , +oo[.
0,0625 exp(-0,125x2) est toujours positif.
(4-x2) est positif si x est inférieur à 2 ; (4-x2) est négatif si x est supérieur à 2.
Dresser le tableau de variation de la fonction sur [0, +oo[.

Un logiciel de calcul formel,fournit le développement limité de la fonction f, à l'ordre 3, au voisinage de zéro :
f(x) = 0,25x-0,031 25 x3 + x3e(x).
En déduire une équation de la tangente T à la courbe C au point d'abscisse x=0.
y = 0,25 x.
Etudier la position relative de T et C au voisinage du point d'abscisse 0, pour x positif.
Au voisinage de zéro, f(x)-y =
-0,031 25 x3 avec x positif.
f(x)-y est négatif ; f(x) < y : la tangente est située au dessus de la courbe C.

.


Application à l'étude de la vitesse du vent.
Soit F la fonction définie sur [0, + oo[ parF(x) =1-exp(-0,125 x2).
Calculer la limite de F(x) quand x tend vers l'infini.

exp(-0,125 x2) tend vers zéro lorsque x devient grand ; F(x) tend vers 1 lorsque x tend vers l'infini.
Démontrer que F est une primitive sur [0, +oo[ de la fonction f(x) =0,25 x exp
(-0,125 x2).
F'(x) =0-(-2*0,125 x)
exp(-0,125 x2) = 0,25 x exp(-0,125 x2) = f(x).
Calculer .

Le résultat précédent donne la probabilité, qu'une journée donnée, la vitesse moyenne du vent soit comprise entre 1 m/s et 6 m/s.
Loi de Poisson.
On désigne par X la variable aléatoire qui, à tout intervalle de temps d'une durée de 30 s, associe le nombre de skieurs se présentant à une remontée mécanique, entre 14 h et 15 h. On admet que X suit la loi de Poisson de paramètre l = 6.
Déterminer la probabilité P(X=6).

Calculer la probabilité que, pendant un intervalle de temps d'une durée de 30 s pris au hasard entre 14 h et 15 h, il se présente au plus 6 skieurs.
 P(X=0) +P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) + P(X=6)





Loi normale.
Une entreprise découpe de grande quantité de tubes. Un tube est dit conforme pour sa longueur ( exprimée en mm ) lorsquelle appartient à l'intervalle [245 ; 255].
On désigne par Y la variable aléatoire qui, à chaque tube pris au hasard dans la production d'une journée, associe sa longueur.
Après un réglage de la machine, on admet que la variable aléatoire Y suit la loi normale de moyenne 250 et d'écart type 3.
Calculer la probabilité qu'un tube pris au hasard dans la production d'une journée soit conforme pour sa longueur.
Y suit la loi normale N(m=250, s=3).
 p(245<=Y<=255) = p(-5 / 3 <= (Y-m) / s <=5 / 3)
(Y-m) / s suit la loi normale centrée réduite : 2P(5/3)-1 ~2 P(1,67)-1.
Les tables donnent :

Par suite 2*0,9525-1 =0,905.
Le résultat obtenu n'est pas satisfaisant. On décide de modifier l'écart type à l'aide d'un nouveau réglage de la machine.
Déterminer l'écart type pour que P(245 <=Y <=255) = 0,97.
(Y-m) / s suit la loi normale centrée réduite : 2P(5/s)-1=0,97.
P(5/s)= (1+0,97) / 2 = 0,985.
Les tables donnent :

5 / s = 2,17 ; écart type s = 5/2,17=2,3.
Loi binomiale.
Dans un lot de tubes, 3 % ne sont pas conformes pour la longueur. On prélève au hasard 50 tubes de ce lot. Le lot est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélevement à un tirage avec remise de 50 lots. On considère la variable aléatoire Z qui a tout prélevement ainsi défini, associe le nombre de tubes qui ne sont pas conformes pour la longueur.
Justifier que Z suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
Les prélevements sont indépendants et leur nombre est fixé à n = 50. La probabilité qu'ub tube soit non conforme est constante p = 0,03.
La loi binomiale B(n=50, p = 0,03) est valide.
Calculer la probabilité P(Z=0).
P(Z=0) = 0,9750 =0,218.
Calculer la probabilité que dans un tel prélevement au moins un tube ne soit pas conforme pour la longueur.
1-P(Z=0) = 1-0,218 = 0,782.




  Test d'hypothèse.
On se propose de construire un test d'hypothèse pour contrôler la moyenne µ inconnue des longueurs, exprimées en mm, d'un lot important de tubes.
On désigne par L la variable aléatoire qui, a chaque échantillon aléatoire de 50 tubes prémevés au hasard dans ce lot, associe la moyenne des longueurs de ces tubes ( le lot n'est pas suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ces prélevements à des tiregas avec remise ).
L'hypothèse nulle est H0 : µ =250. Dans ce cas on considère que le lot est conforme.
Hypothèse alternative H1 : µ différent de 250. Le seuil de signification du test est fixé à 5 %.
Sous l'hypothèse H0, on admet que la variable aléatoire L suit la loi normale de moyenne 250 et d'écart type 0,33.
On admet également que P(249,35 <=L <=250,65) = 0,95.
Enoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
On détermine la moyenne puis on vérifie que celle-ci appartient à l'intervalle [249,35 ; 250,65].
On prélève un échantillon aléatoire de 50 tubes dans ce lot et on observe, que pour cet échantillon, la moyenne des longueurs est 250,49.
Peut-on, au seuil de 5 %, conclure que ce lot est conforme ?
Oui, 250,49 appartient à l'intervalle [249,35 ; 250,65].


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