Etude d'un jet d'eau, bts géomètre 2013.

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Alimentation du jet d'eau.
La fontaine avec son jet d’eau est installée.
L’eau est fournie par un réservoir situé en hauteur et à l’air libre qui est constamment alimenté de sorte que son niveau peut être considéré comme constant. Elle est conduite au bassin par une canalisation jusqu’à un « jet-réducteur » pour être au final recueillie dans un bassin circulaire.

Données :
Dénivellation entre les points A et C : H = 15,0 m.
Dimension de la canalisation : section circulaire de rayon r1 = 450 mm
Dimension du « jet-réducteur » : ouverture circulaire de rayon r2 = 55,0 mm
Dimension du bassin : rayon R = 5,0 m ; volume V = 40 m3
Intensité de la pesanteur : g = 9,80 N.kg-1
Pression atmosphérique : P0 =1,00 × 105 Pa
Masse volumique de l’eau : r = 1,00 × 103 kg.m-3
Équation de Bernoulli : ½rv2+rgz+P = constante.
Étude statique.
Une pierre de masse m = 1,5 kg obstrue l’ouverture du jet en C, si bien que l’eau ne s’écoule pas.
 Quelle doit être la valeur minimale de la force modélisant l’action mécanique qui doit s’exercer sur la pierre pour qu’elle soit dégagée ?
Cette force doit être légèrement supérieure au poids de la pierre : F=mg = 1,5*9,80 =14,7 N.
En déduire la valeur de la pression PC correspondante à la sortie du jet.
Section du jet S=pr22 =3,14*0,0552 =9,5033 10-3 m2.
PC = Pression relative exercée par la pierre.
PC = F/ S +PA=
14,7 /(9,5033 10-3)=1,547 103 ~1,55 103 Pa.
A cela il faut ajouter la pression atmosphérique : 1,0155 105 ~1,02 105 Pa.
Réaliser une analyse dimensionnelle de la grandeur pression.
Une pression est une force, une masse fois une accélération, ( newton ou kg m s-2) divisée par une surface (m2).
Une pression s'exprime en kg  m-1 s-2.
En appliquant le principe de l’hydrostatique, déterminer la hauteur minimale Hmin assurant un dégagement de cette pierre ? Conclure.

PCr g Hmin ; Hmin =(PC-PA) / ( r g) =1,547 103 / (9,80 103) =0,158 m.
La pierre  peut  être dégaggée avec une hauteur d'eau de 15 m.


Étude dynamique.
L’ouverture étant libérée, l’eau peut donc jaillir par le jet en C, à l’air libre.
En appliquant l’équation de Bernoulli, établir l’expression de la vitesse v2 avec laquelle l’eau sort au niveau en C. Vérifier qu’elle vaut v2 = 17,1 m.s-1.
On applique la relation de Bernoulli entre les points A et C. La surface du liquide en A étant très grande, la vitesse d'écoulement du liquide vA est nulle ; pA = pC, liquide en contact avec l'atmosphère.
½rvA2+rgzA+PA½rv22+rgzC+PC.
vA2+2gzAv22+2gzC+2PC / r.
v22 =vA2+2g(zA-zC).
v2 = [
vA2+2g(zA-zC)]½.
v2 = [0+2*9,80*15,0]½=17,1 m/s.
En utilisant l’équation de continuité, en déduire l’expression de la vitesse v1 de l’eau dans la canalisation. En déduire la valeur de v1.
Conservation du débit volumique Qv = pr12v1
pr22v2 ; v1 =v2(r2/r1)2 =17,1(55/450)2=0,255 m/s.
Quel est le débit volumique Qv du jet ?
Qv=
pr22v2 =3,14*0,0552*17,1=0,16242 ~0,162 m3/s.
L’évacuation du bassin est malheureusement obstruée par des feuilles mortes.
De quelle durée Δt dispose-t-on avant que le bassin ne déborde ? On supposera le bassin initialement vide.
Dt = V / Qv = 40 / 0,16224=240 s ou 4 min.

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Trajectoire du jet d'eau.
On considère individuellement chaque goutte d’eau de masse m sortant librement au niveau du jet avec  v0 = 17,1 m.s-1. On négligera les frottements.

Goutte éjectée verticalement.
On cherche à déterminer la hauteur maximale atteinte par une goutte éjectée verticalement. On choisira comme référence de l’énergie potentielle de pesanteur, celle à la sortie du jet : Epp(C) = 0
Établir l’expression de l’énergie mécanique EmC de la goutte d’eau à la sortie du jet en C.
L'énergie mécanique est la somme de l'énergie potentielle et de l'énergie cinétique ; en C cette énergie est sous forme cinétique : EmC =½mv02.
De même, établir l’expression de l’énergie mécanique EmD lorsque la goutte atteint le point D de hauteur maximale h.
Au point le plus haut, la vitesse est nulle et l'énergie mécanique est sous forme potentielle :
EmC =mgh.
En appliquant le principe de conservation de l’énergie mécanique, déterminer la hauteur maximale h atteinte par la goutte, et donc le jet d’eau.
mgh =½mv02 ; h = v02 /(2g) =17,12/19,6 =14,9 m.
En réalité, le jet n’atteint pas cette hauteur : pourquoi ?
Les frottements des gouttes d'eau sur l'air conduit à une hauteur inférieure à 14,9 m.






Goutte éjectée avec un angle a.
On considère maintenant une goutte éjectée avec un angle a avec la verticale  toujours à la vitesse v0 = 17,1 m.s-1. On néglige les frottements.
Peut-on parler de chute libre pour la goutte d’eau ? Justifier.
En négligeant la poussée d'Archimède due à l'air et les frottements, la goutte n'est soumise qu'à son poids : la chute est libre.
En appliquant la deuxième loi de Newton, déterminer les coordonnées de l’accélération de la goutte de masse m dans le repère orthonormé (0,x,z).
L'accélération est verticale, vers le bas, de valeur g = 9,8 m/s2.
ax =0 et az = -g.
En déduire les équations horaires de la vitesse v puis de la position OG de la goutte en fonction de v0, a et t.
Vitesse initiale ( v0sin a ; v0 cos a).
La vitesse est une primitive de l'accélération :
vx =
v0sin a ; vy =-gt+v0 cos a.
La position est une primitive de la vitesse et la position initiale est l'origne du repère.
x =
v0sin a t ; y = -½gt2 + v0 cos a t.
Retrouver alors l’équation de la trajectoire de la goutte :
t = x /(
v0sin a) ; repport dans y : y = -½gx2/(v0sin a)2+cos a  /sin a x.
Déterminer la portée, c’est-à-dire la distance xf à laquelle la goutte atterrit.
yf=0 =
-½gxf2/(v0sin a)2+cos a  /sin a xf soit xf(-½xgf/(v0sin a)2+cos a  /sin a)=0
xf=0 correspond à l'origine ; 
-½gxf/(v0sin a)2+cos a  /sin a)=0
Simplifier :
-½gxf/(v02sin a)+cos a =0 ; xf = 2 v02sin a cos a / g = v02 sin 2a/g.
Pour quel angle a0 la goutte atterrit-elle le plus loin ? Est-ce acceptable pour ce bassin de rayon R = 5,0 m ?
La portée est maximale pour a0 = 45° ; xf = 17,12/9,80 =29,8 m, valeur bien supérieure à 5 m.





  

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