Un peu de balistique : bac S Amérique du Sud 2014

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Lors de fouilles préventives sur un chantier de travaux publics, on a retrouvé ce qui ressemble à une arme à
feu. Il s’agit d’un ancien pistolet lance-fusées en bronze datant probablement de la première Guerre Mondiale. Il
est dans un état de conservation assez remarquable. Ce type de pistolet était très utilisé lors de cette guerre car, en plus de lancer des fusées éclairantes, il pouvait servir de moyen de communication. En effet, à l’époque très peu de moyens étaient mis à disposition des troupes : les ondes hertziennes étaient très peu utilisées et c’étaient des kilomètres de câbles téléphoniques qui devaient être déroulés pour permettre la transmission de messages divers et variés.
Ainsi les pistolets signaleurs se sont avérés très utiles.
Durée de visibilité de la fusée.
Sur la notice des fusées éclairantes que l’on peut utiliser dans ce type de pistolet, on trouve les informations
suivantes : Cartouche qui lance une fusée éclairante s’allumant 1,0 seconde après son départ du pistolet et éclaire d’une façon intense pendant 6 secondes environ. Masse de la fusée éclairante : mf = 58 g.
On se place dans le référentiel terrestre supposé galiléen. Le champ de pesanteur terrestre est considéré uniforme, de valeur g = 9,8 m.s−2. On négligera toutes les actions dues à l’air ainsi que la perte de masse de la fusée pendant qu’elle brille et on considèrera cette dernière comme un objet ponctuel.
On définit un repère (O,i ,j) avec O au niveau du sol et tel que la position initiale de la fusée éclairante à la sortie du pistolet soit à une hauteur h = 1,8 m. Le vecteur vitesse initiale v0 est dans le plan (O,x,y) ; Ox est horizontal et Oy est vertical et orienté vers le haut.
À l’instant t = 0 s, le vecteur vitesse de la fusée éclairante fait un angle α égal à 55 ° avec l’axe Ox et sa valeur est v0 = 50 m.s−1.
Représenter le vecteur champ de pesanteur g sur le schéma donné et tracer qualitativement l’allure de la trajectoire suivie par la fusée éclairante dans ce champ de pesanteur.

En utilisant une loi de Newton que l’on énoncera, déterminer les coordonnées du vecteur accélération de la fusée éclairante : ax(t) suivant x et ay(t) suivant y.
Dans un référentiel galiléen, la somme vectorielle des forces appliquées au système est égale au produit de la masse du système par le vecteur accélération du centre d'inertie du système.
La fusée est soumise uniquement à son poids, vertical, orienté vers le bas, valeur mfg. En conséquence ax(t) = 0 et ay(t) = -g.
En déduire les expressions des coordonnées vx(t) et vy(t) du vecteur vitesse de la fusée éclairante et montrer que les équations horaires du mouvement de la fusée s’écrivent x(t) = v0.cos(α).t et y(t) =-½gt2 +
v0.sin(α).t +h.
La vitesse est une primitive de l'accélération : vx(t) = ax(t) + constante et
vy(t) = ay(t) + autre constante.
Les constantes sont déterminées par la vitesse à l'instant t=0.
vx(0) = 0 + constante =v0.cos(α).
  vy(0 =  -g*0 + autre constante = v0.sin(α).
vx(t) =v0.cos(α) et vy(t) = -gt +v0.sin(α).
La position est une primitive de la vitesse.
x(t) =
v0.cos(α) t + constante ; y(t) = -½gt2 +v0.sin(α) t + autre constante.
Les constantes sont déterminées par la position à l'instant t=0.
x(0) = 0 +constante = 0 ; y(0) = h =
autre constante.
x(t) = v0.cos(α).t et y(t) =-½gt2 + v0.sin(α).t +h.
Déterminer la valeur de la durée du vol de la fusée éclairante.
Résoudre
y(t) =-½gt2 + v0.sin(α).t +h = 0.
-4,9 t2 +50*sin 55 t + 1,8 = 0 ; t2-8,36 t -0,367=0.
D =8,362+4*0,367 =71,36 ; D½ = 8,447.
t =(8,36 + 8,447)/2 = 8,4 s ; l'autre valeur est négative : elle ne peut pas convenir.


Calculer l’altitude à partir de laquelle la fusée commence à éclairer puis l’altitude à laquelle elle s’arrête.
Ces valeurs paraissent-elles adaptées au but recherché 
?
Une fusée éclairante s’allume 1,0 seconde après son départ du pistolet et éclaire d’une façon intense pendant 6 secondes environ.
y(t=1) = -4,9 +
50*sin 55 + 1,8 =37,86 ~38 m.
y(t=7) =-4,9 *72 +
50*sin 55 *7+ 1,8 ~ 48 m.
Ces valeurs sont adaptées au but recherché : le champ de bataille est éclairé et la fusée est vue d'assez loin.

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Pour aller un peu plus loin.
Par souci de simplification, on ne considère que le système {pistolet − fusée} et on s’intéresse à sa quantité de mouvement. La masse du pistolet à vide est mp = 0,98 kg.
Exprimer la quantité de mouvement totale p du système {pistolet − fusée} avant que la fusée ne quitte le pistolet puis montrer que celle-ci est équivalente au vecteur nul.

 Éjection de la fusée
Que peut-on dire de la quantité de mouvement totale du système {pistolet − fusée}si l’on considère ce système comme un système isolé au cours de l’éjection de la fusée du pistolet ?
Le vecteur quantité de mouvement d'un système isolé se conserve.  
En déduire dans ce cas l’expression vectorielle de la vitesse vp de recul du pistolet juste après l’éjection de la fusée en fonction de la masse du pistolet mp, de la masse de la fusée mf et du
vecteur vitesse initiale de la fusée v0.

Le signe moins traduit le recul du pistolet ; vp = 0,058 *50 / 0,98 ~3,0 m/s.
 La valeur réelle de la vitesse est beaucoup plus faible que la valeur que l’on obtient à la question précédente. Pourquoi observe-t-on une telle différence ? Justifier la réponse.
La masse de la fusée n'est pas constante, elle diminue au fur et à mesure que le combustible est consommé.





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