Aurélie 5/04/13
 

 

Oscillations électriques ; concours orthoptie Nantes 2012.

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Pour mesurer le taux d'humidité relative de l'air ( % d'HR) on peut utiliser le capteur appelé "humidistance" dont le principe utilise un condensateur de capacité variable avec l'humidité. On place ce condensateur dans le circuit ci-dessous dans lequel la bobine a une résistance négligeable.

L'interrupteur est d'abord placé en position 1 pour charger le condensateur, puis basculer en position 2 pour le décharger. Un système informatisé d'acquisition de données permet de relever la tension aux bornes du condensateur au cours de la décharge.

  1. Suivant la valeur de la résistance R non nulle, l'évolution du système (RLC) se fait suivant deux régimes différents. Tracer l'allure de la tension aux bornes du condensateur en fonction du temps pour ces deux régimes que l'on nommera.
  2. On suppose maintenant que R=0 . Reproduire la partie du circuit correspondant à la décharge . Etablir l'équation différentielle régissant l'évolution de la charge q du condensateur.
  3. Vérifier que l'expression q= QM cos (2pt/T0+F0) est solution de l'équation différentielle si la période propre T0 a pour expression : T0 = 2p (LC)½.
  4. Le condensateur du capteur d'humidité est introduit dans le circuit précédent. La période mesurée T vaut 31,4 ms dans les conditions atmosphériques de l'expérience. Sachant que l'inductance de la bobine L=200 mH, calculer la capacité du condensateur.
  5. On lit sur la notice de l'appareil :
    gamme de mesures 10 à 100 % d'HR ; sensibilité 0,4 pF par % d'HR ; capacité à 25°C et à 43% d'HR : 122 pF ; température d'utilisation : 0 à 85 °C.
  6. - L'expression de la capacité C du condensateur est une fonction affine croissante du taux d'HR noté h, exprimé en % d'HR. On peut donc écrire C=a h + b. Déterminer les valeurs des constantes positives a et b.
    - Dans le cadre des données ci-dessus déterminer le %d'HR de l'atmosphère.

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Corrigé.

(1) régime pseudo-périodique: R faible

(2) régime apériodique : R élevée.

uc=uL soit q/C = Ldi/dt avec i = -dq/dt ( décharge) et di/dt = -d²q/dt² = -Lq"
q/C = -Lq" soit
q"+ w0² q=0 avec w0² =(LC)-1 et 2p/T0= w0.
q= QM cos (w0+F0) ; dérivée première par rapport au temps q' = QM w0( -sin(w0+F0))
q" = -QM w²0cos (w0+F0) = - w²0q
repport dans l'équation différentielle de la charge : - w²0q + w²0q= 0 , vérifiée quel que soit t.
capacité :
T =2p (LC)½ soit T²= 4p2 (LC) d'où : C= T²/ (4p2L)= (31,4 10-6)2/( 4*3,14²*0,2) = 1,25 10-10 F= 125 pF.
a= 0,4 pF %HR-1.
122 = 0,4 * 43+b d'où b = 104,8 pF
C= 0,4 h +104,8
.
h=(C-104,8 )/ 0,4 = (125-104,8) / 0,4 =
50,5 % d'HR.




Etude énergétique.
On souhaite étudier l'énergie totale E de l'oscillateur électrique. Cette énergie est la somme de l'énergie électrique E
1 = ½ CuC2 emmagasinée dans le condensateur et de l'énergie magnétique E2 = ½ Li 2 emmagasinée dans la bobine. Le logiciel utilisé peut calculer, à partir des mesures, les valeurs de ces trois énergies et fournir les courbes donnant leur variation en fonction du temps.

- L'origine des dates étant la même pour toutes les courbes des figures 1 et 2, identifier les trois courbes données figure 2 en ne justifiant que l'identification de la courbe donnant les variations de l'énergie magnétique.
-Interpréter brièvement la décroissance de l'énergie totale de l'oscillateur électrique.
- Evaluer l'énergie dissipée pendant les 50 premières millisecondes.

Courbe 1 : E1 = ½ CuC2 à t=0, le condensateur stocke toute l'énergie du dipole LrC.
courbe 2 : E2 = ½ Li 2 à t =0,25 T, la bobine stocke toute l'énergie du dipole.
courbe 3 : E = E1+E2.
Lors des échanges d'énergie entre condensateur et bobine, une partie de l'énergie est perdue par effet joule dans les parties résistives : E décroît au cours du temps.
Ainsi durant les 50 premières millisecondes, l'énergie totale diminue de 300 à 100 µJ.

 





  


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