La station spatiale internationale ( ISS) : détermination de la masse d'un astronaute, concours Audioprothésiste Rennes 2013.
 


Par rapport au référentiel géocentrique, la station ISS effectue 16 révolutions par jour sur une orbite circulaire, inclinée de 21,6 ° par rapport à l'équateur et située à une altitude h ( environ 40 km ).
Masse de la terre M = 5,97 1024 kg ; rayon de la terre R = 6380 km ; masse de la station m  ; G = 6,67 10-11 SI ; h = 400 km.
Représenter sur un schéma la force gravitationnelle que la terre exerce sur la station puis donner son expression vectorielle.

Etude de la vitesse.
On suppose que seule la force gravitationnelle s'exerce sur la station.

Montrer que le mouvement est uniforme et établir l'expression de la vitesse en fonction des données.
La seconde loi de Newton conduit à :

La force de gravitation, perpendiculaire à la vitesse, ne travaille pas. En conséquence l'énergie cinétique et la valeur de la vitesse du satellite ne sont pas modifiées. La valeur de la vitesse étant constante, le mouvement est uniforme.

La masse m de la station croît au fur et à mesure de sa construction.
La vitesse de la station sur son orbite sera-t-elle modifiée ? Justifier.
La vitesse de la station est indépendante de sa masse. Cette vitesse restera donc constante.



Définir puis établir l'expression de la période de révolution de la station en fonction des données.
La période de révolution T est la durée nécessaire pour décrire la circonférence 2p(R+h) à la vitesse v constante.
2p(R+h) = v T = (GM / (R+h))½T.
T =2p(R+h)1,5 / (GM)½.
Satellite géostationnaire.
Définir un satemmite géostationnaire.
Un satellite géostationnaire décrit une orbite circulaire dans le plan équatorial, à une altitude proche de 36 000 km. Il tourne dans le même sens que la terre avec la même vitesse angulaire que la terre. Il paraît fixe pour un observateur terrestre.

La station est-elle géostationnaire ? Justifier.
Non : son altitude n'est que de 400 km et son orbite est inclinée par rapport au plan équatorial. De plus il effectue 16 révolution par jour.


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Détermination de la masse d'un astronaute dans la satation ISS.
La mesure de la masse est l'un des élément du bilan médical auquel doit s'attreindre un astronaute. Mais comment se peser dans une navette spatiale où règne l'apesanteur ? L'utilisation d'un pèse personne n'étant pas possible, les scientifiques ont utilisé le dispositif de la chaise oscillante : un siège de masse m0 mobile sur un rail à coussin d'air est fixé à l'extrémité d'un ressort, l'autre extrémité étant reliée à un point fixe de l'engin spatial.

Système solide-ressort à un instant t quelconque.
Ecarté de sa position d'équilibre puis lâché sans vitesse initiale à t=0 s, le solide (S) oscille avec une période propre T0 = 2p(m/k)½.
On donne m = 100 kg et k = 6,1 102 N /m.
Le choix des états de référence est tel que :
L'énergie potentielle de pesanteur Epp est nulle à l'altitude du centre d'inertie G et l'énergie potentielle élastique Epe a pour expression Epe = ½kx2.
Donner l'expression de l'énergie mécanique Em du système solide-ressort horizontal à la position d'abscisse x quelconque.
Em = Ecinétique + Epp + Epe = ½mv2 + ½kx2.
On donne les courbes de l'énergie mécanique, de l'énergie potentielle élastique et de l'énergie cinétique.


Attribuer à chaque courbe la forme d'énergie représentée en justifiant. Justifier l'hypothèse consistant à négliger les frottements.
Courbe 1 : en absence de frottement l'énergie mécanique est constante.
Courbe 2 : la vitesse initiale, donc l'énergie cinétique est nulle.
Courbe 3 : l'énergie mécanique initiale est sous forme potentielle élastique.
Comparer la période des évolurions de Ec(t) ou de Epe(t) avec T0. Justifier.
x(t) est de la forme A cos ( 2pt/T0) avec A une constante.
Epe(t) est proportionnelle à x2 donc à cos2
( 2pt/T0).
La période de
Epe(t) est donc égale à ½T0.





La période propre T1 des oscillations de la chaise à vide de masse m0 est égale à 1,28 s.
Lorsque l'astronaute de masse M est arrimé sur la chaise, la période T2 des oscillations est  égale à 2,39 s.
Donner l'expression littérale de T1 et de T2 puis vérifier que la masse de l'astraunote M vérifie l'expression M =m0(T22/T12-1).
T1 = 2 p (m0/k)½ ;
T2 = 2 p ((m0+M)/k)½ ;
T12 = 2 p (m0/k) ; T22 = 2 p ((m0+M)/k) ;
T22 / T12 = (m0+M)/m0 = 1 +M/m0 ; M =m0(T22/T12-1).
Calculer M si m0 = 25,2 kg.
M = 25,2 ((2,39/1,28)2-1) =62,7 kg.




  



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