Aurélie 16/04/13
 

 

QCM : relativité restreinte

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Relativité restreinte.
Tom et Léia sont deux faux jumeaux. Tom quitte la terre le jour de ses 30 ans et voyage dans une fusée supposée ponctuelle se déplaçant à la vitesse v = 0,8 c. Il se dirige vers Sirius qui se situe à environ 9,0 a.l de la terre.
On néglige la phase d'accélération et de décélération de la fusée.
1 a.l ~ 1,0 1016 m ; c = 3,0 108 m/s ; 1 an ~3,0 107 s.
Coefficient de Lorentz g = 1 / (1-(v/c)2)½. Aide au calcul : 8/3 ~2,5
  A) Tom observe un pendule dont il mesure la période d'oscillation égale à 2,4 s. Un observateur terrestre mesurerait une période de 1,4 s. Vrai.
Le temps s'écoule plus lentement dans la fusée d'après un observateur terrestre.
g = 1 / (1-0,82)½ =1 / 0,6 ; puis 2,4 *0,6 ~ 1,4 s.
B) Pour Léia le voyage de son jumeau dure 4,0 108 s. Faux.
Distance parcourue par Tom : 18 1016 m ; 
durée du voyage pour un observateur terrestre :
18 1016 /(0,8*3,0 108) =7,5 108 s.
Durée du voyage  ( temps propre ) pour Tom : 0,6 *7,5 108 =4,5 108 s~ 4,0 108 s.
C) Pour Tom la durée du voyage  est de 4,0 108 s. Vrai.
D) Tom aura 38 ans lorsqu'il atteindra Sirius. Vrai.
Distance parcourue par Tom : 9 1016 m ;
durée du voyage  ( temps propre ) pour Tom
: 2,25 108 s ou
2,25 108 / (3 107) =7,5 ans ~ 8 ans.
E) Léia aura 38 ans lorsque Tom atteindra Sirius. Faux.
7,5 / 0,6 =12,5 ans, puis 30 + 12,5 = 42,5 ans.

Voyage spatial.
Une navette parcourt les 1300 années-lumière qui séparent la nébuleuse d'Orion et le Soleil. Cette distance est mesurée dans le référentiel héliocentrique. L'horloge de la navette indique que ce voyage a duré DtN=800 ans. Le référentiel héliocentrique et celui de la navette sont galiléens. On appelle DtH la durée du voyage dans le référentiel héliocentrique. Un contrôleur spatial dans le système solaire observe que le voyage dure 900 ans.
Les durées propres Dt0, dans le référentiel Rp, et mesurées Dt, dans le référentiel R, sont reliées par la relation :
Dt = g.Dt0g = 1/(1-v2/c2)½, v représente la vitesse de Rp par rapport à R et c représente la célérité de la lumière.
Données : c = 3,00 x 108 m.s-1 ; 17½/9 = 0,46.
a) Le référentiel de la navette est en translation rectiligne uniforme par rapport au référentiel héliocentrique. Vrai.
b) DtN est une durée mesurée. Vrai.
Durée mesurée par l'horloge de la navette.
c) On peut écrire DtH= g.DtN. Vrai.
d) La vitesse de la navette dans le référentiel héliocentrique est v ~ 0,46 c. Vrai.
g =900 / 800 = 9 / 8 ;  1/(1-v2/c2) = 81 / 64 ; 1-v2/c2 = 64 / 81 ; v2/c2 =1-64/81 = 17/81 ;
v / c = 0,46 ; v = 0,46 c.


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rayons cosmiques relativiste.
On peut appliquer avec une bonne approximation les lois de la mécanique classique à toute particule animée d'une vitesse inférieure à 10 % de la célérité de la lumière dans le vide, et utiliser l'expression de l'énergie cinétique Ec = ½mv2. Lorsqu'on est dans cette situation, la particule est dite classique. Dans le cas contraire, la particule est dite relativiste. Par exemple, les protons les plus énergétiques des rayons cosmiques sont relativistes. Ils sont d'origine extrasolaire et leur énergie cinétique est typiquement comprise entre 100 MeV et 10 GeV.
Calculer en joule puis en MeV, l'énergie cinétique d'un proton animé d'une vitesse égale à 10 % de la célériité de la lumière dans le vide .

Cas d'un proton "classique" : ½mp(0,1 c)2 = 0,5 * 1,673 10-27 (3,00 107)2 =7,53 10-13 J.
7,53 10-13  /( 1,602 10-13) =4,70 MeV.
Justifier par un argument quantitatif la phrase " les protons les plus énergétiques des rayons cosmiques sont relativistes".
L'énergie cinétique maximale des protons "classiques" est inférieure à 4,7 MeV. Des protons d'énergie cinétique supérieure à 4,7 MeV sont donc relativistes.
D'après la théorie de la dualité onde-corpuscule, que l'on doit au scientifique Louis de Broglie, on associe une onde électromagnétique au proton..
Calculer la valeur de la quantité de mouvement p d'un proton dont la vitesse vaut 0,1 c.
p = mp 0,1 c =
1,673 10-27 *3,00 107 =5,02 10-20 kg m s-1.
En déduire la valeur de la longueur d'onde associée.
l = h / p =6,62 10-34 / (5,019 10-20) =1,32 10-14 m.




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