Aurélie 10/03/13
 

 

Le Jokari, rebonds, espace des phases : concours interne ingénieur de l'industrie et des mines 2010.

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Le Jokari est un jeu où l'on frappe une balle en caoutchouc avec une raquette en bois. La balle est reliée à un socle par un élastique de masse négligeable. L'élastique ne produit aucun effet lorsque sa longueur est inférieure à sa longueur à vide L0. Quand l'élastique est tendu il se comporte comme un ressort de raideur k, permettant ainsi à la balle de revenir. Le socle est fixé au sol en un point O pris comme origine. L'étude du mouvement s'effectue dans le référentiel terrestre assimilé à un référentiel galiléen. On donne g = 9,80 m s-2.
Mouvement sans dissipation.
Dans cette partie il n'y a aucun frottement à faire intervenir.

A l'instant initial, on lance la balle avec ue vitesse v0 suivant l'axe Oz ascendant depuis une hauteur h = 1 m ( h <L0).
Quelle doit être la vitesse minimale vmin au départ pour que l'élastique se tende ?
L'altitude de la balle doit être égale à L0 lorsque la vitesse de la balle s'annule.
Energie mécanique initiale de la balle : ½mv2min + mgh.
Energie mécanique finale : mgL0.
Conservation de l'énergie mécanique :
½mv2min + mgh = mgL0.
v2min =2g(L0-h) ; vmin = (2g(L0-h))½.
Dans l'hypothèse où v0 < vmin, donner l'expression de lavitesse vz(t) à un instant t.
La balle est en chute libre verticale : vz(t) = -gt + v0.
On posera t2 = v02/g2 +2h/g.
En déduire la fonction z(t). Préciser les expressions de la itesse vs et de l'instant ts quand la balle touche le sol
z(t) = -½gt2 + v0t + h.
Au sol, l'énergie mécanique est sous forme cinétique : ½mvs2 ;
La conservation de l'énergie mécanique conduit à : 
½mvs2 =½mv20 + mgh.
vs2 = v20 +2gh ; vs2 = g2(v20 / g2 +2h / g ) = g2 t2 ; vs =g t.
vs(t) = -gts + v0 ; ts = (v0 - vs(t) ) / g = v0/g - t.
Exprimer z en fonction de g, v0, vz et h.
t = (
v0 - vz) / g ; z = -½ ( v0 - vz)2 / g + v0( v0 - vz) / g + h.
z =
( v02 -2v0vz+ vz2) / g + (v02 - v0vz) / g + h.
z =
½ (v02 - vz2) / g + h.
A partir de l'énergie mécanique donner une autre expression de z en fonction de g, vz et vs.
½mvs2 =½mv2z + mgz ; ½vs2 =½v2z + gz ; z = ½(vs2 -½v2z ) / g.
L'espace des phases est un plan où l'on porte en abscisse z et en ordonnée vz.
Tracer la courbe correspondante au mouvement de la balle M dans l'espace des phases pout t appartenant à [0, ts].

Quand la balle touche le sol, on admet que sa vitesse change de sens instantanément et que l'on peut écrire e est une constante tel que 0 < e <1.  On pose t' = t-ts.
Quelle est la nouvelle vitesse vz(t') et la nouvelle position z(t') ?
vz(t') = -gt' + evs ; z(t') = -½gt'2 +
evs t'.
Exprimer z en fonction de g, vz, e et vs. Comment pourrait-on mesurer expérimentalement e ?
L'énergie mécanique est sous forme cinétique juste après le rebond : ½m (-evs)2.
Conservation de l'énergie mécanique :
½m (-evs)2= ½mv2z + mgz ; ½ (-evs)2= ½v2z + gz.
z = ½(
(-evs)2-v2z ) / g.
Au point le plus haut vz = 0 : zmax =
½((-evs)2/ g avec vs =g t.
La mesure 
de zmax  permet le calcul de e.

On représente ci-dessous la trajectoire dans l'espace des phases après plusieurs rebonds.
Compléter ce graphique. Préciser le sens de parcours.

Pourquoi a-t-on des tangentes verticales sur l'axe des z ? Par quelle propriété graphique se traduit la conservation de l'énergie ?
vz = dz/dt ; vz = 0 au point le plus haut.
Au cours d'un rebond, la trajectoire est symétrique par raport à l'axe des z.


Mouvement avec dissipation.
La résistance de l'air sur la balle animée d'une vitesse v se traduit par une force qui en norme vaut f = ßmv2 où  ß est une constante. On lance encore la balle d'une hauteur h avec une vitesse v0 < vmin, l'élastique n'étant pas tendu.
Ecrire l'équation différentielle vérifiée par v(t) en fonction de g et ßdans la phase ascendante puis dans la phase descendante
.

 Montrer que dans la phase ascendante du/dz = 2g+2ßu
. Expliciter u(z) en fonction de g, ß, v0 et h. En déduire l'altitude maximale atteinte.
On pose v2 = u ; 2v dv/dt = du/dt ; du/dt =  g(2v) +
ßu(2v).
v = dz/dt ;
du/dt = 2g dz/dt+2ß u dz/dt ; du/dz = 2 g+2ßu. (1).
Solution générale de du/dz -2ßu = 0 : u(z) = A exp(2ßz) ; A est une constante.
Solution particulière de (1) :  u(h) =-g/ß.
Solution générale de (1) :
u(z) = A exp(2ßz) -g/ß.
 u(
h) =v20 =A  exp(2ßh)-g/ß ; A =(v20 +g/ß)exp(-2ßh).
u(z) =
(v20 +g/ß)exp(2ß(z-h))-g/ß.
u(zmax) =0 =
(v20 +g/ß) exp(2ß(zmax-h))-g/ß ; 2ß(zmax-h) =ln (g / (ßv20 +g) ; zmax= h +1/(2ß) ln(g / (ßv20 +g).
Expliciter u(z) dans la phase descendante. En déduire la vitesse vs quand la balle touche le sol à l'instant ts.
On pose v2 = u ; 2v dv/dt = du/dt ; du/dt =  g(2v) +ßu(2v).
v = dz/dt ;
du/dt = 2g dz/dt+2ß u dz/dt ; du/dz = 2 g - 2ßu. (2).
Solution générale de du/dz +2ßu = 0 : u(z) = B exp(-2ßz) ; B est une constante.
Solution particulière de (2), régime permanent : u = g / ß.
Solution générale de (2) :
u(z) = B exp(-2ßz) + g / ß.
u(zmax) = 0 = B exp(-2ß
zmax) +g/ß ; B =-g/ß exp(2ßzmax).
u(z) = 
-g/ß exp(2ß(zmax-z)+g/ß = g/ß(1-exp(2ß(zmax-z))). (3).
u(z) = g/ß(1-exp(2ß(zmax-h +h-z))) =
g/ß(1-exp(2ß(zmax-h) exp(2ß(h-z))) =g/ß(1-(g / (ßv20 +g)exp(2ß(h-z))).
Au sol z = 0, vz = vs ; u = vs2g/ß(1-(g / (ßv20 +g)exp(2ßh)).
Tracer l'allure de la trajectoire dans l'espace des phases entre t=0 et ts
.




Influence du fil.
Dans cette partie on reprend l'hypothèse de non frottement mais on considère que le fil possède une masse µL0 ( µ masse linéïque du fil ) et on écrit la masse de la balle m = l µ.
La balle est lancée verticalement vers le haut depuis le sol avec la vitesse initiale v0.
Montrer que si  le fil ne se tend pas.
Le fil ne se tend pas : la balle est à l'altitude L0, le centre de gravité du fil est à l'altitude ½L0 et le barycentre G du système balle + fil est à l'altitude H.
La conservation de l'énergie mécanique donne : v02 = 2g H.  Le carré de la vitesse initiale doit être inférieure à 2 gH.

H > v02/(2g) ; ½L0(2l+L0) / (l+L0) > v02/(2g) ; L0(2l+L0) > v02/g (l+L0). On pose X = L0 / l et A =v02/(lg) :
 X(2+X) >
v02/(lg)(1+X) ; X(2+X) > A(1+X) ; X2 +(2-A)X-A >0.
X étant positif doit être supérieur à la racine positive de cette équation.
D = (2-A)2+4A =
(2+A)2 ; D½ = ±(2+A).
X =½ (A-2 +2+A) =A ; 
L0 / l > v02/(lg).
Etudier le cas limite µ-->0




  

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