Aurélie 27/12/12
 

 

Etude d'un rétroréflecteur et d'un photomultiplieur : Concours général 2004.

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Le rétroréflecteur.
On considère un miroir dont la surface réfléchissante M1 est confondue avec le plan xOy.
Un rayon lumineux, dont la direction est définie par le vecteur unitaire u de coordonnées (a, b, c)subit une réflexion sur M1.
Déterminer le vecteur u1 caractérisant le rayon réfléchi. Préciser les coordonnées du point A1 image du point A(x, y, z) par le miroir.

A et A1 sont symétriques par rapport au point du miroir : A1(x, y, -z). Les rayons incident et réfléchi sont symétriques par rapport à la perpendiculaire au plan du miroir.
Le vecteur u1 a pour coordonnées (a, b, -c) après réflexion sur le plan xOy.
On considère maintenant un coin de cube C, ensemble de trois miroirs plans identiques M1, M2, M3 constituant les trois faces d'un trièdre trirectangle Oxyz. Des rayons lumineux issus d'un point source A(x, y, z) très éloigné de O arrivent sur C et sont successivement réfléchis par les trois faces.

Montrer que ces rayons sont réfléchis dans la direction du point A.
Vecteur unitaire de la direction AO : u(a, b, c).
Après réflexion sur le miroir M1, le vecteur unitaire de la direction du rayon réfléchi est u1 ( a, b, -c).
Après réflexion sur le miroir M2, le vecteur unitaire de la direction du rayon réfléchi est u2 ( -a, b, -c).
Après réflexion sur le miroir M3, le vecteur unitaire de la direction du rayon réfléchi est u3 (-a, -b, -c).
Quelle relation géométrique existe-t-il entre les points A, O et A' ? ( A' image de A donnée par le coin de cube.
Du fait de la symétrie des rayons incident et réfléchi, OA = OA'.
Commenter les avantages de ce réflecteur par rapport à un miroir plan.
Rayons incident et réfléchi ont des directions de propagation parallèles. Le faisceau réfléchi peut don être détecté par le dispositif émetteur- récepteur.
Photomultiplieur. P.M.
Ce dispositif convertit l'énergie lumineuse en énergie électrique. Il est susceptible de produire un courant  macroscopique sous l'influence d'un seul photon incident.

Le tube photomultiplieur est constitué d'une photocathode suivie par un dispositif multiplicateur d'électrons. Les photons incidents frappant la photocathode provoquent l'émission d'électrons ( par effet photoélectrique ). Ces électrons éjectés du matériau sont dirigés et accélérés vers la première dynode où ils déclenchent l'émission d'électrons secondaires, à leurs tour accélérés vers laseconde dynode. Le processus itéré plusieurs fois ( les PM se composent de 10 dynodes ) produit un effet d'avalanche qui permet de récupérer un courant électrique macroscopique à l'anode même sous l'effet d'un seul photon incident.
Pour assurer un fonctionnement correct du dispositif, il faut également  un circuit électrique de polarisation. La figure ci-dessous en propose un schéma simplifié.


Pour accélérés les électrons entre la photocathode et la première dynode, puis entre les différentes dynodes, on applique des différences de potentiel électrique de 150 V en valeur absolue, ce qui suppose de posséder une source de haute tension HT.
Le circuit de polarisation.
Les résistances du circuit de polarisation sont toutes identiques.
Compte tenu de la différence de potentiel entre deux électrodes successives qui vaut 150 V en valeur absolue, quelle est la valeur de le tension U ?
Aux bornes de chaque résistance, la tension vaut en valeur absolue 150 V. En supposant une intensité constante et sachant qu'il y a 11 résistances en série  : | U |= 11*150 = 1650 V.
Pour émettre les électrons secondaires chaque dynode "puise" ses charges dans le circuit de polarisation lui même. Pour les dynodes les plus proches de la photocathode, les électrons secondaires émis, encore peu nombreux, ne perturbent pas le circuit de polarisation. Pour les dynodes proches de l'anode, en revanche les électrons secondaires émis risquent de modifier considérablement le courant dans le circuit de polarisation ce qui pourrait être préjudiciable à la stabilité de l'ensemble du dispositif.
Montrer qualitativement que l'on peut gérer ce problème en utilisant des condensateurs placés en parallèle sur les dernières résistances.

  
Une partie des électrons émis traversent la résistance R, tandis qu'une autre partie charge le condensateur. Le condensateur une fois chargé se comportera comme un interrupteur ouvert. Le courant dans le circuit de polarisation ne sera pas trop modifié.
Le nombre d'électrons secondaires émis par chaque dynode dépend bien entendu de la structure de chaque dynode mais également de l'énergie cinétique de l'électron qui entre en collision avec celle-ci. Pour décrire ce phénomène, on adopte le modèle suivant, identique entre chaque paires de dynodes du P.M.
Soit un électron émis de la dynode (n) à t = 0 avec une vitesse nulle. Il est alors soumis au champ électrique supposé uniforme, qui règne entre les dynodes (n) et (n+1). Au cours du mouvement de l'électron de vitesse v(t), on suppose que son mouvement est gouverné par la seule force électrique.




Trouver la loi d'évolution z(t) de la position de l'électron entre les plaques, en prenant comme condition initiale z(t=0) = 0 et v(t=0) = 0.
La vitesse est une primitive de l'accélération v(t) = eU1/(mL) t.
La position est une primitive de la vitesse : z(t) = ½eU1/(mL) t2.
Calculer numériquement l'énergie cinétique de l'électron lorsqu'il vient heurter la dynode n+1.
Ecrire le théorème de l'énergie cinétique entre la dynode (n) et la dynode (n+1). Seule la force électrique travaille et ce travail est égal à W =e U1.
½ mv2 -0 = eU1 = 1,6 10-19 *150 = 2,4 10-17 J ou 150 eV.
Sachant que l'énergie nécessaire à l'émission d'un électron secondaire vaut 50 eV, combien d'électrons secondaires seront-ils émis pour chaque électron venant frapper la dynode ?
150 / 50 = 3 électrons secondaires.
Puisque le dispositif comporte 10 dynodes, combien l'anode récupère-t-elle d'électrons secondaires pour un seul photon incident ?
310 = 5,9 104. Ce dispositif est très efficace et permet d'obtenir un courant électrique important, même à partir d'un seul photon.




Estimer le temps de transit entre deux dynodes. L = 1 cm.
L = ½eU
1/(mL) t2 ; t2 = 2mL2 / (eU1) ; t = L (2m / (eU1))½ =0,01 (2*9,1 10-31 / (1,6 10-19 *150))½ =2,75 10-9 ~ 2,8 ns.
Le phénomène d'émision secondaire étant instantané, quelle est la durée totale d'une avalanche ?
2,75 *10 = 27,5 ~ 28 ns.
Le temps de réponse du photmultiplieur est de l'ordre de quelques dizaines de nanosecondes.




 


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