Aurélie 27/12/12
 

 

Résolution latérale d'un transducteur multiéléments : Concours général 2003.

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Le transducteur ne peut pas générer un faisceau parfait d'ultrasons.
On se propose d'étudier des techniques permettant d'améliorer la résolution des images échographiques.
Impossibilité d'isoler un rayon lumineux.
Expliquer pourquoi il n'est pas possible expérimentalement  un rayon lumineux ( infiniment fin ).
Dès lors qu'une fente a une largeur de l'ordre de grandeur de la longueur d'onde de la lumière, on observe un phénomène de diffraction..
On considère dans cette question une onde lumineuse monochromatique de longueur d'onde l arrivant sous incidence normale sur une fente rectangulaire centrée en O et de côtés a et b.
Représenter la figure de diffraction obtenue sur un écran.  
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Résolution latérale d'un tansducteur à un élément.
le transducteur est une source de surface rectangulaire de côté a = 1,5 mm et b = 1 cm.

On admet que l'onde ultrasonore qu'il émet est identique à celle obtenue par diffraction d'une onde ultrasonore de même fréquence à travers une fente rectangulaire de côtés a et b. le transducteur émet des ultrasons de fréquence n = 3 MHz et de longueur d'onde l = 0,497 mm dans le milieu biologique.
Calculer numériquement l'ouverture angulaire du faisceau ultrasonore parallèlement au petit côté a ( c'est à dire dans le plan xOz). Faire de même pour le grand côté b et conclure.
q1 = l / a = 0,497 / 1,5 = 0,33 rad. q2 = l / b = 0,497 / 10 ~ 0,05 rad.
La longueur de la fente est trop grande pour provoquer la diffraction.
Un calcul théorique donne l'expression suivante de l'intensité acoustique Idif(q) générée par le transducteur rectangulaire suivant la direction q dans le plan xOz, avec Idif 0 une constante positive.

L'allure du diagramme de rayonnement du transducteur, représentant l'intensité acoustique émise en fonction de la direction q est donnée. On remarque l'existence  de plusieurs lobes : le plus important, suivant la direction q=0, est appelé lobe principal et les autres sont appelés lobes secondaires.


Les ultrasons émis présentent une directivité matérialisée par la largeur angulaire du lobe principal.
Comment faut-il choisir l et a pour améliorer la directivité du transducteur ?
Pour améliorer la directivité, il faudrait éviter la diffraction sur l'ouverture du transducteur tout en ayant un faisceau assez fin. Pour "a" fxé à 0,5 mm, en augmentant la fréquence on diminue la longueur d'onde, c'est à dire q.
Le choix précédent peut-être à l'origine de fausses images ou d'artéfacts très génant en échographie médicale. Pourquoi ?
Les lobes secondaires se trouvent dans les directions définies par :
pa / l sin q = ±(2k+1) p/2 ; s
in q = ± l/(2a) (2k+1)p avec k entier.
A "a " fixé, en diminuant l, on fait croître le nombre de lobes secondaires.
Montrer que le choix l = 0,497 mm et a = 0,4 mm permet d'éviter ces problèmes. En contre-partie, quel est l'inconvénient de ce choix ?
l/(2a) =0,497 / 0,8 =0,621.
p = 0, lobe principal ; p = ±1, sin q = ± 1,86 , sin q > 1, pas lobe secondaire
Il y a pas de lobes secondaires, mais le faisceau est peu directif.

Résolution latérale d'un transducteur multiéléments.
Por améliorer la directivité du faisceau d'ultrasons, on utilise un transducteur multiéléments. Il est constitué de N = 11 éléments rectangulaires équidistants, séparés par une distance d = 0,7 mm, et de propriétés identiques à l'élément étudié ci-dessus. Chaque élément est alimenté par un signal électrique identique :les ondes émises par les différents éléments sont par conséquent en phase les unes avec les autres.

Dans un premier temps, on ne tient pas compte de la largeur a" de chaque élément. On assimile le transducteur à une suite de N éléments rectilignes équi-espacés repérés par les points O0, O1,...

On s'intéresse aux ondes émises dans le plan xOz dans une direction q avec l'axe Oz. On note P0 un plan orthogonal à cette direction.
L'onde issue de O0 arrive en retard par rapport à celle issue de On au niveau du plan P0.
Calculer le décalage temporel tn au niveau de ce plan, de l'onde issue de O0 par rapport à celle issue de On en fonction de n, d, q et c.
Y = n d sin q ; tn = Y/c = n d sin q / c. ( n varie de 0 à N-1 = 10 ).
L'amplitude acoustique complexe An(q) de l'onde émise par l'éément n dans la direction q est définie de sorte que : An(q) = A0 exp[ i 2p c / l tn], n variant de 0 à N-1.
On admet que l'intensité acoustique Iint(q) , résultant des interférences entre les diverses ondes, est : Iint(q) =[A0(q) + A1(q) +....+AN-1(q)]2.


Montrer que l'intensité acoustique totale se met sous la forme :
On pose A = p  / l  d sin q . An(q) = A0 exp[ i 2p c / l tn] = A0 exp[ i 2p  / l n d sin q]  = A0 exp(i2An).
Iint(q) =A20(q) [1+ exp(i2A)+ exp(4iA) +....+ exp(2(N-1)iA)]2.
Il s'agit de la somme d'une suite géométrique de premier terme 1, de dernier terme exp(2(N-1)iA), de raison q= exp(i2A).
Somme de cette suite : premier terme fois (1-qn) / (1-q) =[1-(exp(i2A)N] / (1-exp(i2A) = [1-(exp(i2NA)] / (1-exp(i2A).
1-(exp(i2NA) = 1 - cos(2NA) - i sin (2NA) ; 1-exp(i2A) =1 - cos(2A) - i sin (2A)
Modules correspondants : [ [1 - cos(2NA)]2 + sin2 (2NA)]½ =[2(1-cos(2NA)]½ = 2 sin(NA).
de même[ [1 - cos(2A)]2 + sin2 (2A)]½ =[2(1-cos(2A)]½ = 2 sin(A).
Iint(q) =A20(q) [  sin(NA) / sin(A) ]2.
Représenter l'allure de la courbe Iint(q) / Iint(0) en fonction de sin q.

Les maximas correspondent aux interférences constructives.




On tient compte de la largeur a de chaque élément du transducteur. En posant I0, une constante :

L'allure de la fonction I / I0 est représentée :

Préciser les expressions de a, ß, g et d en fonction de l, N,d et a.
Vérifier que les ultrasons se décomposent en seulement trois faisceaux.
l = 0,497 mm ; N = 11 ; d = 0,7 mm ; a = 0,4 mm.
a est tel que : Np  / l  d sin q  = p ; a = sin q  = l / (Nd) =0,497 / (11*0,7) =0,0645 ; q = 0,064 rad. ( 3,7 ° ).
ß est tel que: Np  / l  d sin q  = 3/2 p ; b = sin q  = 1,5 l / (Nd) = 1,5 *0,497 / (11*0,7) = 0,0968 ; q = 0,097 rad ( 5,6 °).
g est tel que: Np  / l  d sin q  = 5/2 p ; g = sin q  = 2,5 l / (Nd) = 2,5 *0,497 / (11*0,7) =0,161 ; q = 0,162 rad ( 9,3 °).
d est tel que : p  / l  a sin q  =  p ; d =  sin ql / a= 0,497 / 0,40 = 1,24 ( impossible le sinus est compris entre -1 et 1 ).
L'amplitude du pic secondaire situé en ß vaut 0,045 fois l'amplitude du pic central ; celle du pic situé en g vaut 0,016.



  


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