Aurélie 11/09/13
 

 

Etude du moteur à courant continu, pont de diodes, isolation acoustique, concours Caplp maths sciences 2013.

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Le monte-charge est équipé d'un moteur à courant continu. Les pertes du moteur autres que par effet Joule seront négligées dans cette partie.

Pour une intensité du courant électrique traversant le moteur, I = 0,10 A et une tension d'alimentation du moteur U = 6,0 V, calculer la force électromotrice du moteur.
U = E+RI ; E = U-RI = 6,0-10*0,1 = 5,0 V.
On donne l'expression du théorème du moment cinétique projeté suivant l'axe de rotation du moteur :
Jdw/dt = Tu-Tr.
J : moment d'inertie du moteur par rapport à l'axe de rotation ( kg m2).
w : vitesse angulaire du moteur ( rad/s).
Tr : norme du moment d'un éventiel couple résistant ( N m ).
La charge impose à l'arbre du moteur un couple résistant de moment Tr = 0,010 N m. La charge est initialement immobile dans le référentiel du laboratoire.
Quelle est la relation entre  Tr et le moment du couple utile si la charge reste fixe ? Justifier.
Si la charge reste fixe, la vitesse angulaire du moteur est constante, nulle et dw/dt est nulle. Par suite Tu = Tr.
Déterminer graphiquement la tension d'alimentation U à appliquer.

Pour une charge fixe, w=0 et de plus Tu = 0,01 Nm = 1 N cm. Le graphe indique U = 1,0 V.
On se place en régime permanent et la charge est animée d'un mouvement rectiligne uniforme à la vitesse v souhaitée dans le référentiel du laboratoire.
Quelle est la relation entre le moment du couple résistant et le moment du couple utile ? Justifier.
La vitesse angulaire est constante dans un mouvement uniforme :
dw/dt est nulle. Par suite Tu = Tr.
Compléter, à partir du graphique, le tableau ci-dessous dans lequel n est la fréquence de rotation du moteur et U la tension d'alimentation de ce dernier.

U(V)
U0=1
3,5
4,5
6
7,5
n(tr/s)
0
2,5
3,5
5
6,5

Pour ce couple résistant de moment Tr = 0,01 Nm, on mesure pour différentes vitesses v, une unique intensité pour le courant électrique I constante de valeur I0 = 0,10 A.
Exprimer n uniquement en fonction de E.
D'une part : n = U-U0 = U-1.
D'autre part : U = E+RI = E+10*0,1 = E+1.
Par suite n= E.

.


Etude de l'alimentation électrique
Pour le système réel, l'alimentation du moteur est réalisée par l'intermédiaire d'un pont à 4 diodes supposées parfaites. Le pont est alimenté par un transformateur de rapport de transformation m = 0,030. Une bobine d'inductance L et de résistance interne supposée nulle, misse en série avec le moteur, lisse le courant d'intensité i(t). On note I0 la valeur moyenne de i(t). L'inductance L est suffisante pour que l'amplitude des variations de l'intensité i(t) autour de I0 puisse être considérée comme négligeable.

u2(t) = U2max sin(wt). On note T la période du signal u2(t).
Calculer la valeur efficace U2 de la tension u2(t).
U2 = U1 m =230 *0,030 =6,9 V.
Calculer w.
w = 2 p f = 2*3,14*50 =314 ~3,1 102 rad/s.
Préciser le rôle du pont de diode.
A partir d'une tension sinusoïdale, le pont de diode permet d'obtenir une tension variable mais toujours positive.
L'intensité du courant qui traverse le moteur a toujours le même sens.
Indiquer pour chaque diode, son intervalle de temps de conduction pendant une période T.
Entre 0 et ½T, les diodes D1 et D4 sont passantes, les diodes D2 et D3 sont bloquées.
Entre ½T et T, les diodes D1 et D4 sont bloquées, les diodes D2 et D3 sont passantes.
Tracer sur votre copie les courbes u2(t) et u3(t).

Exprimer la tension uL(t) aux bornes de la bobine en fonction de l'intensité i(t). Montrer que la valeur moyenne  de u(t), notée <u(t), vérifie en régime permanent <u(t)> = <u3(t)>.
uL(t) = L di(t)/dt.
<uL(t)> = L <di(t)/dt>. Or <di(t)/dt> = 0.
Additivité des tensions : u3(t) = uL(t) + u(t). <u3(t)> = <uL(t)> + <u(t)>.
Par suite : <u3(t)> = <u(t)>.
Montrer que <u(t)>= 2U2max / p.

Calculer <u(t)>.
<u(t)> = 6,9*1,414 *2/3,14= 6,2 V.



Isolation acoustique du moteur.
Les pertes énergétiques liées au frottement solide sont en partie converties en énergie acoustique. La mesure du niveau d'intensité acoustique, noté L, exprimé en dBa est faite à l'aide d'un sonomètre.
Donner un ordre de grandeur du niveau d'intensité acoustique mesuré dans le cas d'une conversation entre deux personnes.
De 40 à 50 dBa.
Le moteur peut être assimilé à une source ponctuelle émettant de manière isotrope. Soit r la distance entre la source supposée ponctuelle et le point considéré où l'intensité I est mesurée.
Expliquer pourquoi I est du type I = k/r2 ,où k est une constante.
L’intensité acoustique est la puissance transportée par les ondes sonores perpendiculairement à une direction donnée, par unité de surface.
Si le son est rayonné de manière isotrope, la puissance acoustique P de la source se répartit dans l'espace, à travers des surfaces sphériques S = 4 pr2 dont la source est le centre.
Par suite I = P/S = P /(4pr2).
On obtient la courbe suivante avec un sonomètre mesurant le niveau acoustique de l'onde émise par le moteur à différentes distances r.

Relever le niveau d'intensité acoustique L(r) pour r = 1 m et puis pour r = 2 m. En déduire la variation DL du niveau d'intensité acoustique associé à ces deux positions. Aurions-nous pu prévoir cette valeur ? Justifier.
L(r) = 10 log ( I / Iref).
I(r=1) = k ; L(r=1) = 10 log (k/Iref). I(r=2) = k / 4 ; L(r=2) = 10 log (0,25k/Iref).
DL = 10 log (0,25k/Iref) - 10 log (k/Iref) = 10 log 0,25 = -6 dBa.
Dans une chambre à coucher, le niveau d'intensité acoustique acceptable est de 20 dBa. Si une chambre est située à 1 m du moteur, par quel facteur, noté a, devrons nous diviser l'intensité acoustique ?
Ichambre = 10ref 102. Intensité acoustique à 1 m du moteur : I =10ref 104.
Ichambre / I = 0,01. L'intensité acoustique liée au moteur doit être divisée par 100.
La séparation entre le local du moteur et les chambres est supposée être en bois. Le moteur sera considéré comme une source sonore monochromatique de fréquence f = 100 Hz.
On va s'intéresser à la fonction de transfert T de cet isolant c'est à dire au rapport suivant T = It / Ii où Ii est l'intensité acoustique incidente c'est à dire arrivant sur la paroi et It est l'intensité acoustique transmise juste après la paroi de bois. Pour la cloison étudiée, on obtient les résultats suivants : T = 1 / (1+w2 / w02).
w est une pulsation quelconque et w0 est une pulsation de référence propre au bois.
On donne la représentation de la fonction 10 log T en fonction de w/w0.

Exprimer en fonction de w0, la pulsation wc de l'onde acoustique pour laquelle l'atténuation de l'intensité acoustique est égale à -3dBa.
T = I
t / Ii  ; 10 log T = 10 log (It/ Ii ) = -3 ;  It/ Ii = 10-0,3 = 0,50.
10 log T = 10 log [1 / (1+w2 / w02)] = -3 ; 1 / (1+w2 / w02) = 10-0,3 = 0,50.
(1+w2 / w02) = 2 ; w2 / w02 = 1 ; w = w0.
Quel est le pourcentage d'énergie acoustique transmise à partir de cette pulsation de coupure ?
La coupure à - 3 dB correspond à une diminution de 50 % de l'énergie acoustique.
On va chercher à dimensionner l'épaisseur de la cloison de bois pour obtenir l'isolation souhaitée.
Comment choisir la fréquence de coupure fc pour que l'intensité acoustique de l'onde, de fréquence f = 100 Hz soit divisée par un facteur 100.
It/ Ii = 0,01 ; 10 log T = 10 log 0,01 = -20 ; 10 log [1 / (1+w2 / w02)] = -20 ; 1 / (1+w2 / w02) = 10-2 = 0,01.
(1+w2 / w02) = 100 ; w2 / w02 = 99 ; w = 9,95 w0 ; f = 9,95 f0  ; f0 =100/9,95 ~10 Hz.
A quel domaine de fréquences appartient alors la fréquence de coupure ?
La fréquence de coupure se situe dans le domaine des infrasons.
Comparer qualitativement l'atténuation, à travers l'isolant, d'un son grave et d'un son aigu.
Fréquence des sons graves : 20 à 200 Hz : fréquence de coupure minimale correspondante : ~2 Hz
Fréquence des sons aigus : 10 kHz à 20 kHz ; fréquence de coupure correspondante  ~2 kHz.
On montre que fc vérifie la relation suivante : fc = r0c / (pra).
r0 = 1,2 kg m-3 : masse volumique de l'air ;  c =340 m/s célérité du son dans l'air ; r  = 950 kg m-3 masse volumique de l'isolant ; a : épaisseur de l'isolant exprimée en mètre.
fc et "a" sont inversement proportionnels.
Les sons graves sont atténués par une épaisseur d'isolant plus grande que les sons aigus.
Quelle est la valeur de a ?
a = 
r0 c / (p r fc) = 1,2*340 / (3,14*950*10) =0,014 m.
Sur quels facteurs pouvons nous agir pour améliorer l'isolation phonique d'une pièce ?
Isoler phonétiquement la pièce des bruits extérieurs.
Corriger l'acoustique de la pièce en évitant les matériaux lisses ( utiliser des matériaux absorbants qui évitent la réflexion des sons sur les parois).
Par contre il est difficile d'agir sur la taille et la géométrie de la pièce.





  


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