Aurélie 03/05/13
 

 

Etude d'une pompe à chaleur, diagramme de Mollier, concours Caplp maths sciences 2013.

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La pompe à chaleur est une machine thermique qui fait subir un certain nombre de transformations à un fluide. Une pompe à chaleur permet, grâce à un apport d'énergie sous forme de travail W, d'extraire une énergie sous forme de chaleur Q1 à une source froide de température T1 et de restituer une énergie sous forme de chaleur Q2 à la source chaude de température T2, un local à chauffer par exemple.
Le fluide subit deux transformations isobares aux cours desquelles les échanges thermiques avec les sources froide et chaude se produisent. On se place dans cette étude dans le cas de transformations réversibles.
Enoncer le premier principe de la thermodynamique.
Un système fermé n'échange pas de matière avec l'extérieur.
Le premier principe traduit la conservation de l'énergie totale d'un système. Soit un système fermé évoluant sur un cycle en recevant de l'extérieur une quantité de chaleur Q et un travail W (grandeurs algébriques), le principe de l'état initial permet d'écrire : W+Q = 0
Soit dans ce cas : W + Q1+Q2 = 0.
W >0 ; Q1 >0 et Q2 <0.
Le fluide qui circule à travers le circuit est du 1, 1, 1, 2-tétrafluoroéthane nommé R134a.
Donner la formule développée du R134a.
Le R134a comme le chlorodifluorométhane sont aujourd'hui interdits.
Indiquer l'effet produit sur l'environnement par les chlorofluorocarbures.
Les CFC sont responsables pour une bonne part de la destruction de la couche d'ozone.
Des produits de remplacement, plus écologiques, sont désormais utilisés comme fluides frigorigènes.Le R410a est un mélange à 50 % de difluorométhane et 50 % de 1, 1, 1, 2, 2-pentafluoroéthane.
Indiquer ce que signifie le pictogramme inscrit sur une bonbonne de difluorométhane.
Substance inflammable.
On utilise 200 g de 1, 1, 1, 2-tétrafluoroéthane. Le diagramme pression -enthalpie du R134a est donné. La courbe de saturation limitant le domaine de coexistence de deux phases est tracé. Le point (1) sur le diagramme caractérise le fluide à l'entrée du compresseur. On mesure une pression P1 = 3,00 bar et une température q1 = 5°C.

Indiquer la valeur correspondante de l'enthalpie massique.
L'abscisse du point (1) donne  402 kJ kg-1.
Passage dans le compresseur.
La transformation est adiabatique réversible. La pression passe de 3,00 bar à 10,0 bar, le travail fourni est W = 25 kJ kg-1. Le point (2) caractérise le fluide à la sortie du compresseur.
Placer le point (2), indiquer dans quelle phase se trouve le fluide, donner la température q2 du fluide.
Le fluide se trouve à l'état de vapeur sèche. Le point (2) est proche de l'isotherme 50 °C.

Indiquer le rôle de cette compression et calculer l'énergie fournie sous forme de travail par le compresseur au 200 g de fluide. L'abscisse du point (2) est proche de 430 kJ kg-1.
Le compresseur élève la température du fluide en le comprimant.
W = 430-402 = 28 kJ kg-1 soit 28 *0,2 = 5,6 kJ.

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Passage dans le condenseur. La transformation est isobare.
L'énergie perdue sous forme de chaleur est de 210 kJ kg-1 et la température du fluide à la sortie du condenseur est de 15°C. le point (3) caractérise l'état du fluide à la sortie du condenseur. Placer le point (3).
Expliquer les échanges d'énergie sous forme de chaleur entre le fluide et l'air ambiant.
Les échanges de chaleur s'effectue par conduction et convexion. La phase liquide du fluide frigorigène apparaît dès que la température de la surface de refroidissement devient inférieure à la température de saturation sous la pression de 10 bars. La température du fluide reste alors constante, égale à la température de condensation. Lorsque tout le fluide est sous forme liquide, la température de celui-ci diminue de 40°C à 15 °C.
Déterminer l'énergie sous forme de chaleur cédée par le condenseur.
Q2 = -210*0,2 = -42 kJ.
Déterminer l'énergie perdue sous forme de chaleur pendant le changement d'état.
 Le graphe donne 160 kJ kg-1 soit pour 200 g de fluide : -160*0,2 = -32 kJ.
Passage dans le détendeur. La transformation est isenthalpe.
Indiquer le rôle du détendeur.
Le détendeur contrôle l'écoulement du réfrigérant et permet sa détente. Il évite au compresseur d'aspirer du réfrigérant liquide.
A la sortie le fluide est détendu à basse pression et engendre un début de vaporisation avec production de froid.
Comment varie la section de la conduite ?
Le passage offert au liquide est rétréci et débouche coté évaporateur, dans une tuyauterie de diamètre beaucoup plus important.
Comment évolue la température ?
Pendant la traversée du détendeur, il n’y a pas d’échange de chaleur avec l’extérieur  (l’enthalpie est la même à l’entrée et à la sortie du détendeur ). Pour se vaporiser le fluide ne peut prendre la chaleur utile à sa vaporisation qu’à lui même.Ainsi une partie du liquide se vaporise pour refroidir l’ensemble.
Le point(4) caractérise le fluide à sa sortie du détendeur. Placer le point (4).
Ce point est placé sur une ligne indiquant x = 0,10. A quoi correspond cette valeur ?
10 % du fluide est à l'état gazeux.
Donner la température q4 du fluide. 0°C.
Passage dans l'évaporateur.
Expliquer les échanges d'énergie mis en jeu, indiquer la transformation subie par le fluide, indiquer comment varie sa température.
Au cours du passage dans l'évaporateur, le fluide frigorigène passe de l'état liquide à l'état gazeux : ce phénomène d'évaporation  produit du froid.
Le fluide va se réchauffer tout au long du passage dans l'évaporateur, captant la chaleur du milieu dans lequel il est (source froide :eau ,ou air).
Déterminer l'énergie échangée sous forme de chaleur dans l'évaporateur.
Abscisse du point (4) : 220 kJ k-1 ; 402-220 =182 kJ kg-1. Q1 = 182*0,2 =36,4 kJ.
Vérifier le premier principe de la thermodynamique pour ce cycle.
Q1 + Q2 + W = 36,4 - 42 + 5,6 =0.




Le coefficient d'efficacité de la pompe, noté e, est la valeur absolue du rapport de l'énergie cédée sous forme de chaleur à la source chaude sur le travail absorbé.
Exprimer puis calculer e. Interpréter ce résultat.
e = |-Q2| / W = 42/5,6=7,5. L'efficacité n'a rien à voir avec un rendement.
A l'aide du second principe de la thermodynamique, pour un cycle réversible, montrer que le coefficient d'efficacité s'exprime par e = T2/(T2-T1), expression dans laquelle T1 est la température de la source froide en kelvin et T2 celle de la source chaude en kelvin.
Second principe : Q1/T1 + Q2/T2 = 0 sur un cycle réversible ; premier principe Q1 + Q2 + W = 0 sur le cycle.
Q1/T1 = -Q2/T2  ;  0 ; Q1/Q2 = (- T1)/T2 ; (Q1+Q2)/Q2 =(-T1 + T2 )/T2 ; -W / Q2 = (-T1 + T2 )/T2 ;  -Q2 / W = T2 /(T2-T1).
Indiquer dans quelle condition une pompe à chaleur est la plus efficace.
Une pompe à chaleur est la plus efficace si la différence T2-T1 est faible.
A l'aide du diagramme pression - enthalpie, il est possible de déterminer les valeurs des pressions de vapeur saturante pour différentes températures.
Indiquer la valeur de la pression de vapeur saturante pour -10°C.  2,0 bar.


Le rapport g des chaleurs massiques à pression constante Cp et à volume constant Cv est g = 1,22.
En utilisant l'équation des gaz parfaits P V = m RS q avec : 
m : mase du gaz ( kg) ; RS constante thermodynamique du gaz R124a : 81,485 J kg-1K-1 ; q : température en kelvin ; P : pression (Pa) ; V : volume (m3).
Calculer le volume du fluide au point (1).
V = m RS q / P =0,200 *81,485 *(273+5) / (3 105 )=1,51 10-2 ~1,5 10-2 m3.
Lors de la transformation (1) ---> (2), le fluide suit la loi PVg = constante.
Calculer le volume V2.
P1V1g =P2V2g  ; V2g  = P1V1g /P2 ; V2 = V1(P1/P2)1/g =1,51 10-2 (3/10)1/1,22 =5,63 10-3 ~ 5,6 10-3 m3.
Calculer la température q2.
P2 V2 = m RS q2 =P2 V2 /( m RS) =10 105 *5,63 10-3 /(0,2 *81,485) =345 K ou 345-273 = 72°C.
Le résultat obtenu valide-t-il l'hypothèse d'un gaz parfait ? Justifier en définissant un gaz parfait.
Le résultat obtenu est très différent de q2 ( 50°C) : l'hypothèse d'un gaz parfait n'est pas valide.
Un gaz parfait est un gaz dans lequel les interactions entre espèces sont négligeables ; c'est le cas d'un gaz réel sous faible pression et loin des conditions de condensation.




  


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