Aurélie 25/02/13
 

 

Lentilles minces, lentille électrostatique : Concours général  1993.

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Prisme.
Soit un prisme d'angle A taillé dans un verre d'indice n. On considère seulement les rayons situés dans un plan de section principale, c'est-à-dire perpendiculaire à l'arête du prisme.
Un rayon lumineux arrivant sur le prisme avec l’angle d'incidence i ressort du prisme avec l’angle d'émergence i'. Etablir que l’angle de déviation D du rayon lumineux a pour expression : D = i + i' − A.

Les lois de Descartes relatives à la réfraction en I et I' :
en I : nair sin i = n sin r soit sin i = n sin r (1)
en I' : n sin r' =nair sin i' soit n sin r'= sin i' (2)
Démonstration géométrique :
r+r'=A
L'angle r a pour complément l'angle BII' ( en notant B le sommet du prisme).
L'angle r' a pour complément l'angle BI'I ; d'où r+r'+ angle BII' + angle BI'I= 180°.
de plus dans le triangle BII' : A + angle BII' + angle BI'I= 180°.
des angles ayant même supplément sont égaux, d'où :
r+r'=A
Démonstration géométrique :
D=i+i'-A
L'angle D a pour supplément l'angle IJI'
Dans le triangle IJI' :( i-r )+ (i'-r') + angle IJI' = 180 °
par suite D= ( i-r )+ (i'-r') = i+i'-(r+r') =
i+i'-A.
Dans le cas où i et A sont petits. montrer que D ~ (n-1) A.
i ~n r ; i' ~n r' ; i + i' ~ n(r+r') = n A ; puis D ~nA-A = (n-1) A.
Lentilles minces.
Une lentille est un milieu transparent qu'on suppose ici limité par deux calottes sphériques ou par une calotte sphérique et un plan. L'expérience montre qu'une lentille mince utilisée dans les conditions de Gauss est stigmatique et aplanétique.
Qu'appelle-t-on conditions de Gauss ?
Les conditions de Gauss sont les conditions permettant d'obtenir une image de qualité donnée par un instrument d'optique. Les rayons lumineux doivent arriver sur les dioptres sous faible incidence.
Que signifient les adjectifs stigmatique et aplanétique pour un instrument d'optique ?
Stigmatisme : l'image d'un point est un point unique.
Aplanétisme : l'image d'un objet plan est plane.
On se propose de retrouver directement les formules de Descartes applicables ici à une lentille mince dans l'approximation de Gauss. Pour cela, on considérera les rayons arrivant sur les bords de la lentille mince assimilée à un prisme d'angle petit A. On se limitera au cas d'une lentille biconvexe de rayon a. Toutes les grandeurs seront considérées en valeur absolue sauf indication contraire. La lentille constituée d'un verre d'indice n est supposée placée dans l'air.

En considérant les réfractions successives d'un rayon incident parallèle à l'axe de la lentille, calculer la distance focale image f’ de la lentille en fonction de n, A et a.

Calculer de même la distance focale objet f. Exprimer f’ (ou f) en fonction uniquement de n et des rayons R1 et R2 des sphères limitant la lentille.

Dans l'approximation des petits angles : tan D = a / OF'~ D ; de plus D ~(n-1) A. Par suite :
OF'~a / ((n-1)A). Par raison de symétrie f ' = f.



Soit un point objet réel A situé sur l'axe de la lentille et donnant une image réelle A'.
 Retrouver directement la relation de Descartes entre la position de l’objet et celle de l’image. On posera p = OA, p' = OA' où O désigne le centre optique de la lentille. Reprendre la même question dans le cas où A est réel et son image virtuelle.

A partir de la relation de Descartes qu'on écrira ici en utilisant des grandeurs algébriques, en orientant l'axe de la lentille dans le sens de propagation de la lumière, trouver la relation dite de Newton.





Lentille électrostatique.
Un champ électrostatique E, non uniforme, règne dans une région R du laboratoire. y2+z2<= r2. ß est une constante, l et r sont des longueurs données. On suppose r < l.

A l'instant choisi pour origine des dates (t = 0), un électron de vitesse v0 pénètre en I0 dans R. A cet instant : x =x0 = -l ; y = y0<< r ; z = z0<< r.
Quelle est la forme de R ?
R est un cylindre. R porte dans la suite le nom de « lentille électrostatique »
.
Montrer que, à l'extérieur de R, le mouvement d'un électron est rectiligne et uniforme si on néglige son poids et l'action de tout autre champ électrique ou magnétique.
Le principe d'inertie indique qu'un système isolé est soit au repos ( si sa vitesse initiale est nulle), soit animé d'un mouvement rectiligne uniforme.
Comment choisir le signe de β si l'on veut que le champ E tende à maintenir l'électron au voisinage de l'axe x'x ?
Dans la région R l'électron est soumis à la force :
La composante de cete force suivant l'axe des y doit être dirigée vers O : si y >0 : -ße y doit être négatif soit ß >0. Si y <0 :
-ße y doit être positif  soit ß>0.
De même suivant l'axe des z.
Donner l'expression du vecteur accélération d'un électron dans R. En déduire les coordonnées du vecteur accélération en fonction de β, e, m et des coordonnées x, y et z de l'électron. En déduire les équations différentielles vérifiées séparément par x, y et z. On posera w2 = ße / m.

 Vérifier que la solution de l'équation différentielle en x est de la forme : x = Aexp(kt) + Bexp(−kt) avec k > 0 et déterminer k en fonction de ω. Déterminer aussi A et B compte tenu des conditions initiales.
x' = Ak exp(kt) -Bk exp(-kt) ; x" = Ak2 exp(kt) +Bk2 exp(-kt) ; repport dans l'équation différentielle vérifiée par x :
Ak2 exp(kt) +Bk2 exp(-kt) =2w2A exp(kt) + 2w2 B ( exp(-kt).
Cette dernière égalité est vraie quel que soit le temps si k2
2w2 soit k = 2½w.
x(0) =A+B =x0 ; x'(0) = k(A-B) = v0  ; A = ½(
x0 + v0/ k ) ; B = ½( x0 - v0/ k ).




  
Dans toute la suite, on supposera satisfaite la condition v0 >> wl.
 Montrer que cette condition entraîne que la vitesse  x' reste pratiquement égale à v0.
A = ½( -l + v0/ (2½w) ) =½ /w  ( -wl + v0/ 2½ )~½/w v0/ 21,5  ; B~ /w v0/ 21,5.
x' =
2½ (A exp(kt) -B exp(-kt) ) ~ ½ v0 ( exp(kt) + exp(-kt).
Si
  exp(kt) + exp(-kt) ~ 2, la vitesse est pratiquement égale à v0.
Dans cette même approximation, résoudre les équations en y et en z. Montrer que la trajectoire électronique reste au voisinage de x’x (hypothèse paraxiale). Quelle est l'hypothèse correspondante en optique ?
y" +w2y=0 ; solution générale : y = A cos (wt + B) où A et B sont des constantes déterminées par les conditions initiales.
y' = -A w sin (wt+B) ; y'(0) = 0 = A sin B ; A n'est pas nul, B = 0 ou p.
y(0) = y0 = A cos B ;  si y0 >0, alors B = 0, d'où y = y0 cos (wt ). De même z = z0 cos (wt ).
y0 << r et z0 << r : l'électron reste au voisinage de l'axe  x'x, analogie avec la condition de Gauss ( rayon lumineux proches de l'axe optique ).
Donner les coordonnées du vecteur vitesse en I sur la face de sortie de la lentille. Donner les coordonnées de la vitesse de l'électron en I.
L'électron sort du cylindre R à la date t = l /v0.
vx(½l) = v0 ; vy(½l) =  -y0 w sin ( wl/v0) ~ - y0 w2l/v0 ~ -y0ßel/(mv0) ; vzl) = -z0ßel/(mv0).
Calculer les coordonnées du point F’, intersection de la trajectoire de l'électron avec l'axe x'x. La position de F' dépend-elle de I ? Justifier le nom de foyer donné à F’.
On note t' la date de passage en F'. Au point F', yF' = -yI = -y0 cos (wl/v0) ~ -y0(1-(wl/v0)2) ~ -y0(1-(ße/m (l/v0)2).
 yF' = -y0ßel/(mv0)t'  ; par suite t' ~mv0/ (ßel) (1-(ße/m (l/v0)2).
xF' = v0t'  =mv02/ (ßel) (1-(ße/m (l/v0)2).
xF' ne dépend pas de la position de I : tout rayon incident arrivant parallèlement à l'axe des x, émerge en pasant par F'.
 Cette lentille électrostatique est-elle convergente ou divergente ? Comment agir sur la distance focale de la lentille ?
xF' étant positive, cette lentille est convergente. On peut modifier xF' en modifiant v0 et / ou ß ( c'est à dire agir sur le champ électrique )..
A.N : calculer la distance focale OF' pour : l = 1,0 x 10−4 m ; wl/v0 =10-2.
xF' =v02 / (w2l)(1-(wl/v0)2) =l(v02 / (w2l2)(1-(wl/v0)2)=1,0 x 10−4 / 10-4 (1-10-4) ~ 1 m.

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