Aurélie 19/09/13
 

 

La quète du grave, Bac S Métropole septembre 2013.

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L'histoire de la contrebasse remonte à la création de la famille des violons au XVIème siècle en Italie. La recherche d’instruments à cordes avec ce timbre particulier mais capable de jouer des notes plus graves a conduit à l’élaboration
de la contrebasse puis de l’octobasse. En 2010 l’atelier de lutherie de Mirecourt de J.J. Pagès a reproduit à l’identique l’octobasse.
L’objectif de cet exercice est de répondre au problème que se pose le luthier : comment peut-il produire des notes de plus en plus graves avec l’instrument qu’il fabrique, l’octobasse ?
Pour répondre aux questions suivantes, vous vous aiderez des documents 1 à 3.
Document 1 :
Une corde de longueur L vibrant dans son mode fondamental vérifie la relation : L = ½l avec λ : longueur d’onde de la vibration de la corde.
La célérité v de l’onde sur la corde est liée à la tension T imposée à la corde et à sa masse linéique μ par la
relation : v =(T/µ)½, avec T en N et μ en kg.m-1.
Le domaine du spectre audible pour l’homme va de 20 Hz à 20 kHz.
Donner la relation liant la fréquence f du mode de vibration fondamental, la longueur de la corde L et la célérité v de l’onde sur la corde. Montrer que cette relation peut s’écrire f = 1/(2L) (T/µ)½.
Une corde de longueur L vibrant dans son mode fondamental vérifie la relation : L = ½l ;
La célérité v de l’onde sur la corde est liée à la tension T imposée à la corde et à sa masse linéique μ par la
relation : v =(T/µ)½.
Enfin la fréquence f, la célérité v et la longueur d'onde l sont liées par f = v/l.
Par suite f =v / (2L) =
1/(2L) (T/µ)½.
Document 2 : fréquences de quelques notes dans la gamme tempérée.

Fréquences des notes ( Hz)
Numéro d'octave
-1
0
1
do(ut)
16,3
32,7
65,4

18,3
36,7
73,4
mi
20,6
41,2
82,4
fa
21,8
43,6
87,3
sol
24,5
49,0
98,0
la
27,5
55,0
110
si
30,9
61,7
123
Les cordes d’un instrument sont nommées d’après la note qu’elles émettent dans le mode fondamental, quand elles sont pincées à vide.
Le son le plus grave de la contrebasse jouant à vide est un mi0. La longueur de la corde émettant cette note vaut L0 = 1,05 m. On souhaite construire une octobasse qui puisse émettre la note do-1.
En faisant l’hypothèse que l’octobasse possède une corde de même masse linéique et de même tension que la corde « mi0 » de la contrebasse, que peut-on dire de la longueur de la corde L-1 de l’octobasse nécessaire pour émettre la note do-1. À quelle difficulté se trouve confronté le luthier ?
Les deux cordes ont la même tension et la même masse linéïque : le rapport T / µ est donc constant.
f(
mi0) = Cste/ (2L0) ; f(do-1) = Cste/ (2L-1) ; L = L0 f(mi0) / f(do-1) =1,05 * 41,2 /16,3=2,65 m.
La dimension de l'instrument devient rapidement trop grande.

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Document 3.
L’octobasse possède 3 cordes jouant respectivement les notes do-1, sol-1 et do0 et sa taille est d’environ 4 m. La longueur des cordes est de 2,18 m (longueur à vide). L’instrument est si grand que le musicien doit monter sur un escabeau pour frotter les cordes avec un archer. Le musicien peut manipuler, à l’aide de manettes, sept doigts métalliques qui réduisent la longueur des cordes pour jouer les différentes notes.


Problème :
En s’affranchissant de l’hypothèse précédente, quelle(s) solution(s) technique(s) le luthier peut-il proposer pour que, en respectant le cahier des charges (document 3), une même corde de l’octobasse puisse émettre un do-1 et aussi un ré-1 ?

Du fait de la hauteur du manche, l'insrtumentiste monté sur un petit escabeau intégré à l'octobasse, agit sur les cordes non pas avec ses mains, mais avec des leviers et des pédales. Les cordes sont frottées avec un archer.
Pour une même corde le rapport T/µ reste constant ; les doigts métalliques actionner par les manettes, permettent de modifier la longueur des cordes.
La corde do-1 libre joue la note do-1.
Sur cette même corde, pour jouer le ré-1, il faut réduire la corde à la longueur :
L = L(do-1) f(do-1) / f(ré-1) =2,18 * 16,3 /18,3 =1,94 m.



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