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L'histoire de la
contrebasse remonte à la création de la famille des violons au XVIème
siècle en Italie. La recherche d’instruments à cordes avec ce timbre
particulier mais capable de jouer des notes plus graves a conduit à
l’élaboration
de la contrebasse puis de l’octobasse. En 2010 l’atelier de lutherie de
Mirecourt de J.J. Pagès a reproduit à l’identique l’octobasse.
L’objectif de cet exercice est de répondre au problème que se pose le
luthier : comment peut-il produire des notes de plus en plus graves
avec l’instrument qu’il fabrique, l’octobasse ?
Pour répondre aux questions suivantes, vous vous aiderez des documents
1 à 3.
Document 1
:
Une corde de longueur L vibrant dans son mode fondamental vérifie la
relation : L = ½l avec λ : longueur d’onde de la
vibration de la corde.
La célérité v de l’onde sur la corde est liée à la tension T imposée à
la corde et à sa masse linéique μ par la
relation : v =(T/µ)½, avec T en N et μ en kg.m-1.
Le domaine du spectre audible pour l’homme va de 20 Hz à 20 kHz.
Donner
la relation liant la fréquence f du mode de vibration fondamental, la
longueur de la corde L et la célérité v de l’onde sur la corde. Montrer
que cette relation peut s’écrire f = 1/(2L) (T/µ)½.
Une corde de longueur L
vibrant dans son mode fondamental vérifie la relation : L = ½l ;
La célérité v de l’onde sur la corde est liée à la tension T imposée à
la corde et à sa masse linéique μ par la
relation : v =(T/µ)½.
Enfin la fréquence f, la célérité v et la longueur d'onde l sont liées par f = v/l.
Par suite f =v / (2L) =
1/(2L) (T/µ)½.
Document 2 : fréquences de
quelques notes dans la gamme tempérée.
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Fréquences des notes
( Hz)
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Numéro
d'octave
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-1
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0
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1
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do(ut)
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16,3
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32,7
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65,4
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ré
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18,3
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36,7
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73,4
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mi
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20,6
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41,2
|
82,4
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fa
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21,8
|
43,6
|
87,3
|
sol
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24,5
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49,0
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98,0
|
la
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27,5
|
55,0
|
110
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si
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30,9
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61,7
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123
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Les cordes d’un instrument
sont nommées d’après la note qu’elles émettent dans le mode
fondamental, quand elles sont pincées à vide.
Le son le plus grave de la contrebasse jouant à vide est un mi0.
La longueur de la corde émettant cette note vaut L0 = 1,05
m. On souhaite construire une octobasse qui puisse émettre la note do-1.
En faisant l’hypothèse que l’octobasse possède une corde de même masse
linéique et de même tension que la corde « mi0 » de la
contrebasse, que
peut-on dire de la longueur de la corde L-1 de l’octobasse
nécessaire pour émettre la note do-1. À quelle
difficulté se trouve confronté le luthier ?
Les deux cordes ont la même tension et la même masse linéïque : le
rapport T / µ est donc constant.
f(mi0) =
Cste/ (2L0) ; f(do-1) =
Cste/ (2L-1) ; L = L0 f(mi0) / f(do-1) =1,05 * 41,2 /16,3=2,65 m.
La dimension de l'instrument devient rapidement trop grande.
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Document 3.
L’octobasse possède 3 cordes jouant respectivement les notes do-1,
sol-1 et do0
et sa taille est d’environ 4 m. La longueur des cordes est de 2,18 m
(longueur à vide). L’instrument est si grand que le musicien doit
monter sur un escabeau pour frotter les cordes avec un archer. Le
musicien peut manipuler, à l’aide de manettes, sept doigts métalliques
qui réduisent la longueur des cordes pour jouer les différentes notes.
Problème :
En
s’affranchissant de l’hypothèse précédente, quelle(s) solution(s)
technique(s) le luthier peut-il proposer pour que, en respectant le
cahier des charges (document 3), une même corde de l’octobasse puisse
émettre un do-1 et aussi un ré-1 ?
Du fait de la hauteur du
manche, l'insrtumentiste monté sur un petit escabeau intégré à
l'octobasse, agit sur les cordes non pas avec ses mains, mais avec des
leviers et des pédales. Les cordes sont frottées avec un archer.
Pour une même corde le rapport T/µ reste constant ; les doigts
métalliques actionner par les manettes, permettent de modifier la
longueur des cordes.
La corde do-1
libre joue la note do-1.
Sur cette même corde, pour jouer le ré-1, il faut réduire la
corde à la longueur :
L = L(do-1) f(do-1) / f(ré-1) =2,18 * 16,3 /18,3 =1,94 m.
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