Téléscope spatial Hubble, James Webb, bac S Antilles 09/2013.

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Partie 1 : orbite du télescope spatial Hubble.
On étudie le système ( téléscope spatial Hubble ) dans le référentiel géocentrique en négligeant l'interaction gravitationnelle du soleil avec le télescope.
Quelle est la trajectoire du téléscope Hubble dans ce référentiel ?
La trajectoire du téléscope spatial Hubble est circulaire, à une altitude quasi-constante h = 600 km de la surface de la terre.
A partir de la seconde loi de Newton, montrer que dans l'approximation d'une trajectoire circulaire, le mouvement du téléscope est uniforme.

L'accélération est centripète et sa valeur est constante. La composante de l'accélération est nulle suivant la tangente au cercle. En conséquence la valeur de la vitesse est constante : le mouvement est donc uniforme.
Montrer que l'expression de la valeur de la vitesse v du satellite dans le référentiel géocentrique est v = (GM/(R+h))½.
M : masse de la terre ; R : rayon terrestre ; h : altitude du satellite ; r = R+h ; G : constante de gravitation.


 


Etablir l'expression de la période  de révolution T en fonction de R, h et v.
Le téléscope décrit la circonférence 2 p (R+h) à la vitesse v durant la période T.
2 p (R+h) = v T ; T = 2 p (R+h)/ v.
Rapeller  la troisième loi de Kepler.
Le carré de la période de révolution est proportionnelle au cube du rayon de l'orbite : T2 / (R+h)3 = constante.
Montrer que dans le cas du téléscope spatial Hubble, on a : T2/r3 = 4p2 / (GM).
D'une part v2 = GM/r ; d'autre part : v =
2 p (R+h)/ T = 2 p r / T soit : v2 = 4 p2 r2 / T2.
Par suite : GM / r =
4 p2 r2 / T2 ou T2/r3 = 4p2 / (GM).
Calculer la période de révolution T, exprimée en minutes.
G = 6,67 10-11 SI ; M = 5,97 1024 kg ; R = 6370 km = 6,37 106 m.
r = R+h =
6,37 106 + 6,00 105 =6,97 106 m.
T2 = 4*3,142 *(
6,97 106)3 /(6,67 10-11*5,97 1024) =3,35 107 s2 ;
T = 5,79 103 s = 96,5 min

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Partie 2 : mise en orbite du téléscope spatial James Webb.
Ce téléscope sera mis en orbite par le lanceur européen Ariane 5. Dans cette partie, on étudie tout d'abord le système Ariane 5 ( incluant tout son équipement y compris le téléscope ) dans le référentiel terrestre que l'on suppose galiléen pendant la durée de l'étude. Initialement le système est situé sur sa base de lancement. Le repère d'espace choisi est un axe vertical Oz orienté vers le haut. l'origine O est initialement confondue avec le centre d'inertie de la fusée de sorte que z(0) = z0 = 0.
Lors de son décollage la fusée Ariane 5 et son équipement possèdent une masse totale proche de M = 780 tonnes. La valeur de la force de poussée générée par les propulseurs est de l'ordre de 14,0 106 N. Déterminer la valeur du poids de la fusée au moment du décollage. g = 9,8 m s-2.
14,0 106
P = Mg = 7,80 105*9,8 =7,644 106 ~7,6 106 N.
Déduire de la seconde loi de Newton l'expression de la coordonnée az du vecteur accélération du lanceur Arianre 5  au moment du décollage en fonction de M, g et F.

L'accélération reste constante si l'on peut négliger les forces de frottement fluide et si le champ de gravitation reste constant. On montre que l'altitude z(t) du lanceur Ariane 5 est donnée par la relation :
z(t) = ½(F/M-g) t2.
Calculer l'altitude  du lanceur au bout de 10 s.
z = 0,5 [ 14,0 106 / (7,80 105 ) -9,8]*100 = 4,1 102 m.
En réalité, l'altitude d'Ariane 5 est nettement plus faible au bout de 10 s.
Proposer une explication énergétique.
Seulement 50 % de l'énergie thermique  fournie par la combustion des ergols est convertie en énergie cinétique.





Un point de Lagrange est une position de l'espace où les champs de gravité de deux corps très massifs en orbite l'un autour de l'autre fournissent exactement la force centripète requise pour que ce point de l'espace accompagne simultanément la rotation des deux corps. Dans le cas oùù les deux corps sont en orbite circulaire, ces points représentent les endroits où un troisième corps de masse négligeable resterait immobile par rapport aux deux autres : il accompagnerait à la même vitesse angulaire leur rotation autour de leur centre de gravité commun sans que sa position par rapport à eux évolue. La sonde d'observation SoHO, destinée à l'observation du soleil a été placée au point L1.
Positions des 5 points de Lagrange dans le plan de l'écliptique.

On envisage maintenant le cas où le téléscope James Webb aura atteint le point de Lagrande L2.
Pourquoi le point L2 a-t-il été choisi pour l'orbite du téléscope James Webb plutôt que le point L1, alors qu'il est envisageable de placer plusieurs satellites au même point de Lagrange ?
Le téléscope spatial James Webb est destiné, non pas à l'observation du soleil, mais de l'univers en effectuant des observations dans l'infrarouge..






  



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