Aurélie 11/04/12
 

 

   Bille sur une sphère, loi de décroissance radioactive : concours kiné Ceerrf 2012.


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Les vecteurs sont écrits en gras et en bleu.
Une masse m ponctuelle est lâchée sans vitesse, du point A au sommet d'une sphère de rayon r et de centre O. On néglige tout frottement. On note M la position de la masse m au cours de son mouvement circulaire. On repère la masse m par son abscisse angulaire q : (OS , OM) ; on note n et t les vecteurs unitaires de la base locale de Frenet (n centripète, et t orienté dans le sens du mouvement).
 Faire un schéma précisant notamment les forces qui s'exercent sur la masse.


Donner I' accélération de la masse m dans la base de Frenet.

Or v = r q' t ; dv/dt = rq".
a =
rq"t  + r q'2 n.
Ecrire les forces dans la base de Frenet.
R = R (-
n) ; P = mg cos q n + mg sin q t.
A partir de la 2è loi de Newton, établir l'équation diftrentielle du mouvement de la masse m, en fonction de q et de sa dérivée seconde.
Sur n : -R +
mg cos q  = mr q'2 .
Sur t :
mg sin q =m r q" ; g sin q = r q".
 Exprimer l'énergie mécanique Em de la masse m, notamment en fonction de q (l'énergie potentielle de référence est choisie en O).
Em = mg r cos q +½mv2 =
mg r cos q +½m (rq')2 .
Par des considérations énergétiques, retrouver l'équation diftrentielle précédente.
En absence de frottement, l'énergie mécanique est constante. Dériver Em par rapport au temps :
0 = -
mg r sin q q' + m r2q'q".
Simplifier : 0 =
-g sin q  +  rq".


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Soit un échantillon radioactif contenant N0 noyaux à la date t0 , et N noyaux à la date t .
Donner l'expression de la loi de décroissance radioactive en fonction de N et de la demi-vie T.
N = N0 exp ( -l t) avec l = ln2 / T d'où :
N = N0 exp ( -ln2 t / T).
ln (N /N0) = -t/T ln2 = ln 2 -t/T ;
N =N0 2 -t/T.
Définir la demi-vie T.
Durée au bout de laquelle la moitié des noyaux initiaux se sont désintégrés.







Pour vérifier la loi de décroissance expérimentalement, on souhaite tracer un graphe donnant une droite de pente positive, et passant par l'origine.
Sans justifier, donner l'expression de l'ordonnée y, de la pente k et de l'abscisse x de ce graphe.
ln N = ln N0 -t/T ln2.
On trace -ln N en fonction de t : droite de pente k = +ln2 / T, d'ordonnée à l'origine -lnN0.
 
On trouve une pente k=0,10 an-1.
En déduire la valeur de T.

ln2 / T = 0,1 ; T = ln2 / 0,1 = 6,9 ans.






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