Aurélie 17/01/12
 

 

   La grêle : concours Manipulateur radio Tours 2011.


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La grêle se forme dans les cumulo-nimbus situés entre 1 000 m et 10 000 m d'altitude où la température est très basse, jusqu'à – 40°C. Le grêlon tombe lorsqu'il n'est plus maintenu au sein du nuage. Au sol sa vitesse peut atteindre 160 km/h.
On étudie un grêlon de masse 13 g qui tombe d'un point O d'altitude 1 500 m sans vitesse initiale. Il peut être assimilé à une sphère de diamètre 3,0 cm. Le point O sera pris comme origine d'un axe Oz orienté positivement vers le bas. L'intensité de la pesanteur sera considérée comme constante et de valeur g0 = 9,80 m.s-2 .
Données : volume d'une sphère V = 4/3 p.r3 ; masse volumique de l'air r = 1,3 kg.m-3 .



A ) Chute libre : on admettra que le grêlon tombe en chute libre.
En appliquant
la deuxième loi de Newton, déterminer les équations horaires donnant la vitesse et la position du centre d'inertie G du grêlon en fonction de la durée t de chute.
On applique la deuxième loi de Newton au grêlon dans le référentiel terrestre supposé galiléen ; on choisi un axe vertical orienté vers le bas, origine : le point de départ O.
En chute libre, le poids est la seule force appliquée : ma = mg d'où a=g.
La vitesse est une primitive de l'accélération : v= gt ( la constante d'intégration est nulle car la vitesse initiale est nulle).
La position est une primitive de la vitesse : z= ½gt².( position initiale prise comme origine).
Calculer la valeur de la vitesse lorsqu'il atteint le sol, ce résultat est-il vraisemblable ? Justifier.
au sol z = 1500 m ; t²= 3000/g ; t = [3000/g]½.
Repport dans l'expression de la vitesse : v = g[3000/g]½ = [3000*g]½ = [3000*9,8]½
=
171,5 m/s=617 km/h.
Cette valeur est bien trop grande pour correspondre à la réalité , ainsi qu'à la valeur proposée dans le texte; on a négligé les forces de frottements sur les couches d'air.

B ) Chute réelle :
En réalité le grêlon est soumis à deux autres forces, la poussée d'Archimède FA et la force de frottement fluide F proportionnelle au carré de la vitesse telle que F = K.v2.
Par une analyse dimensionnelle, déterminer l'unité du coefficient K dans le Système International.

F : force ( newton) = Masse * accélération soit [M][L][T]-2 ;
vitesse ² = longueur ² / temps² soit [L]2[T]-2 ;
K= F/v² soit [M][L][T]-2 [L]-2[T]2 = [M][L]-1
L'unité du coefficient K dans le Système International est donc
kg.m-1.
Donner l'expression de la valeur de la poussée d'Archimède; la calculer et la comparer à celle du poids. Conclure.
Poussée d'Archimède = poids du volume de fluide (air) déplacé = volume grêlon *
rair*g.
FA=
4/3 p.r3 rairg avec r = 1,5 10-2 m.
FA=
4/3*3,14*(1,5 10-2)3*1,3*9,8 = 1,8 10-4 N.
poids P=mg= 0,013*9,8 = 0,13 N
La poussée d'Archimède est négligeable devant le poids du grêlon.

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On néglige la poussée d'Archimède.
Etablir l'équation différentielle du mouvement. Montrer qu'elle peut s'écrire sous la forme dv/dt = A – B.v2.
Ecrire la seconde loi de Newton dans un référentiel terrestre supposé galiléen, suivant un axe vertical descendant.
Le grêlon est soumis à son poids, vertical vers le bas et à la force de frottement verticale vers le haut.
mg - Kv² = ma = m dv/dt soit dv/dt = g-K/mv².
A = g et B= K/m.
On veut résoudre cette équation différentielle par une méthode numérique : la méthode d'Euler. Le tableau suivant est un extrait d'une feuille de calcul des valeurs de la vitesse (v) et de l'accélération (a) en fonction du temps (t). Il correspond aux valeurs : A = 10,0 m.s-2 et B = 1,56.10-2 m-1 , pas de variation Dt = 0,5 s.
t(s)
v(m/s)
a(m s-2)
0,00
0,00
10,0
0,50
5,00
a1
1,00
v2
8,46
1,50
14,03
6,85
2,00
17,46
5,12
2,50
20,02
3,59
3,00
21,81
2,39
Déterminer a1 et v2 en détaillant les calculs.
On utilise l'équation différentielle pour déterminer a1 :
a1 = 10-1,6 10-2 v12 avec v1 = 5,00 m/s.
a1 = 10-1,6 10-2* 5,002 = 9,6 m/s².
Dans la méthode d'Euler, on utilise l'approximation suivante : a = Dv / D t.
Dv = v2-v1= a2D t soit v2= v1+ a1D t.
v2= 5 + 9,6 * 0,5 = 9,8 m/s.
Exprimer la vitesse limite atteinte par le grêlon en fonction de A et B puis calculer sa valeur numérique.
Lorsque la vitesse limite est atteinte par le grêlon, la vitesse est constante, l'accélération a est alors nulle.
0= A-Bvl2 soit vl =(A/B)½= (9,8/1,56 10-2)½=25,1 m/s.





La courbe d'évolution de la vitesse en fonction du temps est donnée ci-dessous.

D'après cette courbe, quelle est la valeur de v2 ? Quelle est la valeur de la vitesse limite ? Est-ce en accord avec le valeurs déterminées ci-dessus ?
D'après la courbe, l'asymptote horizontale donne la valeur de la vitesse limite ( 25 m/s ), valeur en accord avec celle calculée ci-dessus.
L'ordonnée correspondante à t = 1 s,donne v2 ~10 m/s
, valeur en accord avec celle calculée ci-dessus.
Indiquer le nom des deux régimes observés et évaluer le temps caractéristique de cette chute.
Régime permanent dès que la vitesse limite est atteinte ; auparavant, le régime est transitoire.

 








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