Aurélie 14/06/12
 

 

   Circuit RC, remontée d'un ballon, oscillateur élastique, pendule : concours audioprothésiste.



 


On associe en série un condensateur de capcité C, un conducteur ohmique de résistance R = 104 ohms aux bornes d'un générateur idéal de tension de fem E. A l'instant t=0, on ferme l'interrupteur K et on enregistre la charge du condensateur à l'aide d'une interface reliée à un ordinateur. Un dispositif aproprié permet de séparer sans danger la masse du générateur est celle de l'interface. On souhaite voir apparaître :
- sur la voie 1, la tension u1 correspondant à l'évolution de l'intensité i du courant ;
- sur la voie 2, la tension u2 correspondant à la tension aux bornes du condensateur.
Sur un schéma du montage faire apparaître les branchements de l'interface et les tension u1 et u2.

 Préciser en justifiant rigoureusement, sur chaque axe des ordonnées s'il s'agit de la représentation de u1 ou -u1, u2 ou u2.

Courbe a : u2, tension aux bornes du condensateur, fonction croissante au cours de la charge jusqu'à la valeur uc=E.
Courbe b : u1 = -UR=-Ri ; on a visualisé -u1 = Ri, tension aux bornes du résistor, image de l'intensité au facteur R près,  fonction décroissante au cours de la charge jusqu'à la valeur zéro.
Déterminer, en  détaillant la méthode, la constante de temps du circuit.

En déduire la capacité C du condensateur.
C = t / R = 2 10-3 / 104 = 2 10-7 F.
Déterminer, en justifiant, à la fermeture de l'interrupteur :

La valeur de uc : la continuité de l'énergie stockée par le condensateur conduit à uc(t=0) = 0, le condensateur étant initialement déchargé.
La valeur de la charge q du condensateur : q(t=0) = 0,
le condensateur étant initialement déchargé.
La valeur de uR : additivité des tension uc(t=0) + uR(t=0 ) = E ;
uR(t=0 ) = E ;
La valeur de l'intensité du courant : i(t=0) =
uR(t=0 ) / R = E/R = 3/104 = 3 10-4 A.
Mêmes questions en régime permanent.

uc= E =3 V; q = Cuc =CE = 2 10-7*3 = 6 10-7 C ; uR=0 ; i= 0.

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Remontée d'un ballon.
Un ballon sphèrique, de volume V = 4,2 10-3 m3, de masse m = 25 g, est lâché sans vitesse initiale au fond d'une piscine dont la profondeur est h = 2,50 m. On donne la masse volumique de l'eau r = 1,0 103 kg m-3 et on prendra g = 9,81 m s-2.
Quelles sont les forces qui agissent sur le ballon au cours de la montée ? Donner leurs caractéristiques.
Le poids, verticale, vers le bas, valeur P = mg = 25 10-3*9,81 =0,24525 ~0,25 N.
La poussée d'Archimède, verticale, vers le haut, valeur r Vg = 1,0 103*
4,2 10-3 *9,81 =41,2 ~41 N.
Une force de frottement fluide, verticale, vers le haut.
Ecrire littérallement l'équation différentielle régissant le mouvement en prenant une force de frottement fluide de la forme f = kv2 avec k = 6,975 S.I, v la vitesse du centre d'inertie du ballon et en prenant un axe vertical Oz dirigé vers le haut.
Ecrire la seconde loi de Newton sur cet axe : - mg +
r Vg -kv2 = mdv/dt.
dv/dt + k/m v2 = g(
r V/m-1).
Montrer que l'on a dv/dt = 1638-279 v2
en unité S.I.
dv/dt + 6,975 / 0,025 v2 = 9,81(
4,2 / 0,025-1) ; dv/dt + 279 v2 =1637.
A l'aide de la méthode d'Euler, exprimer la vitesse vn en fonction de vn-1, an-1, Dt.
( vn-vn-1 ) /Dt = an-1 ; vn = vn-1+ an-1*Dt.
Faire de même pour l'altitude zn en fonction de zn-1, vn-1, Dt.
dz/dt = v ; (zn-zn-1) / Dt = vn-1 ; zn = zn-1+ vn-1*Dt.
Calculer les valeurs de z et de v pour un pas de 0,5 ms en se limitant à une durée de 5 ms.
z0 = 0 ; v0 = 0, a0 =1638-279v02 = 1638 S.I.
v1 = v0 + a0Dt = 0 +1638*0,5 10-3 =0,819 ~0,82 m/s ; z1 = z0 + v0Dt = 0  ;
a1 = 1638-279 v12=1638-279*0,8192 =1451 SI ;  v2 = v1 + a1Dt = 0,82 +1451*0,5 10-3 =1,55 ~1,5 m/s ; z2 = z1 + v1Dt = 0 +0,819*0,5 10-3 =4,1 10-4 m.
a2 = 1638-279 v22=1638-279*1,552 =967,7 SI ;  v3 = v2 + a2Dt = 1,55 +967,7*0,5 10-3 =2,03 ~2,0 m/s ; z3 = z2 + v2Dt = 4,1 10-4 +1,55*0,5 10-3 =1,185 10-3 ~ 1,2 10-3 m.
a3 = 1638-279 v32=1638-279*2,032 =488,3 SI ;  v4 = v3 + a3Dt = 2,03 +488,3*0,5 10-3 =2,27 ~2,3 m/s ; z4 = z3 + v3Dt = 1,185 10-3 +2,27*0,5 10-3 =2,32 10-3 ~ 2,3 10-3 m.
a4 = 1638-279 v42=1638-279*2,272 =200,3 SI ;  v5 = v4 + a4Dt = 2,27 +200,3*0,5 10-3 =2,37 ~2,4 m/s ; z5 = z4 + v4Dt = 2,32 10-3 +2,37*0,5 10-3 =3,51 10-3 ~ 3,5 10-3 m.
a5 = 1638-279 v42=1638-279*2,372 =70,9 SI ;  v6 = v5 + a5Dt = 2,37 +70,9*0,5 10-3 =2,405 ~2,4 m/s ; z6 = z5 + v5Dt = 3,51 10-3 +2,405*0,5 10-3 =4,71 10-3 ~ 4,7 10-3 m.
a6 = 1638-279 v62=1638-279*2,4052 =22,9 SI ;  v7 = v6 + a6Dt = 2,405 +22,9*0,5 10-3 =2,416 ~2,4 m/s ; z7 = z6 + v6Dt = 4,71 10-3 +2,416*0,5 10-3 =5,92 10-3 ~ 5,9 10-3 m.
a7 = 1638-279 v72=1638-279*2,4162 =9,5 SI ;  v8 = v7 + a7Dt = 2,416 +9,5*0,5 10-3 =2,42 ~2,4 m/s ; z8 = z7 + v7Dt = 5,92 10-3 +2,42*0,5 10-3 =7,13 10-3 ~ 7,1 10-3 m.
La vitesse limite obtenue par la méthode d'Euler est  voisine de 2,42~2,4 m/s.
Par le calcul on obtient : 1638-279 vlim2 = 0 ; vlim =(1638/279)½ =2,42 m/s.
A quelle date peut-on considérer que le ballon a atteint cette limite ? Quelle est alors la distance parcourue par le ballon depuis l'instant du lâcher ? Que peut-on conclure sur le mouvement du ballon ?
A partir de 4 ms, on peut considérer que cette vitesse limite est atteinte. Le ballon a parcouru environ 6 mm. Le mouvement du ballon est ensuite  rectiligne uniforme, d'après le principe d'inertie.
Déterminer au bout de combien de temps le ballon a atteint la surface.
h / vlim ~2,5 / 2,4 ~1 s.






Ressorts et pendule simple.
On dispose de deux ressorts identiques, de constante de raideur k, de longueur à vide L0 et de masse négligeable, d'un solide de masse m considéré comme ponctuel et d'un fil inextensible de longueur L, lui aussi de masse négligeable.
On suspend à l'extrémité d'un ressort un objet de masse m1 puis un autre de masse m2. Le ressort prend les longueurs respectives L1 puis L2.
Donner les expressions littérales puis calculer k et L0.
m1 = 100 g ; m2 = 200 g ; L1 = 32,9 cm ; L2 = 45,8 cm ; m=254 g ; g = 9,8 N / kg.
A l'équilibre m1g = k(L1-L0) et
m2g = k(L2-L0) ; m1/ m2 = (L1-L0) /(L2-L0) ;
m1(L2-L0) =m2(L1-L0) ; L0( m2-m1) =m2L1-m1L2 ; L0 (m2L1-m1L2 ) / ( m2-m1).
L0 (0,2*0,329-0,1*0,458) / 0,1 =0,200 m = 20,0 cm.
k = m1g /
(L1-L0) =0,1*9,8 / 0,129 =7,60 N/m.
Le solide de masse m peut se déplacer sur un banc à coussin d'air horizontal. Il est solidaire des ressorts dont les autres extrémités sont fixées en des points M et N.
Quelle énergie un opérateur doit-il apporter aux ressorts pour écarter la masse de 5,0 cm de sa position d'équilibre ?  On pourra considérer que dans la position initiale, aucun des ressorts n'est tendu ou comprimé et que l'énergie potentielle élastique est alors nulle.
Le système est équivalent à un ressort unique de constante de raideur 2k.
 L'énergie mise en oeuvre est égale à : ½(2k)(L-L0)2 =0,5*2*7,60 *0,052 =1,9 10-2 J.
L'opérateur abandonne ensuite le solide sans vitesse initiale. Calculer la période des oscillations.
T = 2p(m/(2k))½ =6,28(0,254/(2*7,60))½ =0,812 ~0,81 s.
Calculer la vitesse maximale du solide.
La vitesse est maximale au passage à la position d'équilibre. La conservation de l'énergie mécanique conduit à :
½mvmax2 = 0,019 ;
vmax =(2*0,019/0,254)½ =0,387 ~0,39 m/s.
Calculer sa vitesse lorsqu'il se trouve à 3,0 cm de sa position d'équilibre.
Energie potentielle élastique :
½(2k)(L-L0)2 =0,5*2*7,60 *0,032 =6,84 10-3 J.
La conservation de l'énergie mécanique permet le calcul de l'énergie cinétique : 1,9 10-2 -
6,84 10-3 =1,216 10-2 J.
 
½mv2 = 0,0216 ; v =(2*0,0216 / 0,254)½ =0,3094 ~0,31 m/s.
On accroche le solide à l'extrémité du fil de longueur L ; l'autre extrémité du fil est fixée à un support fixe.
Calculer L pour que les petites oscillations du pendule ainsi constitué soit la même que celle du pendule élastique précédent.
T = 2p (L/g)½ ; L = T2g / (4p2) =0,812 *9,8 / (4*3,142) =0,163 m ~16 cm.
L'opérateur apporte la même énergie au pendule simple que celle apportée au pendule élastique.
Calculer l'amplitude angulaire q du mouvement.
Energie potentielle maximale du pendule ( origine à la position d'équilibre) : m g L( 1-cos q).
Conservation de l'énergie mécanique : 0,019 =
m g L( 1-cos q).
1-cos q) = 0,019/(mgL) ; cos q =1-0,019/(mgL) = 1-0,019 / (0,254*9,8*0,163) =0,953 ; q = 17,6 ~18°.







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