Aurélie 04/10/12
 

 

 Calorimétrie et variation d'entropie : concours ITPE 2012.

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On admettra que les capacités thermiques massiques et les capacités thermiques sont indépendantes de la température, donc constantes.
Calorimétrie.
On dispose d'un calorimètre parfaitement isolé, rempli d'un mélange eau-glace à l'équilibre thermique à 0°C. Le calorimètre comprend un thermomètre, un agitateur et une résistante chauffante immergée dans le mélange eau-glace. La capacité thermique totale du calorimètre avec ses accessoires, sans le mélange eau-glace, est  µc,  c est la capacité thermique massique de l'eau et µ la valeur en eau du calorimètre. Du point de vue des échange thermique, le calorimètre est équivalent à une quantité d'eau de masse µ.
A l'instant initial t0 la masse de glace est mg et la masse totale ( eau + glace) est M. La résistance chauffante est alimentée par une puissance P constante. Le themomètre indique une température constante jusqu'à l'instant t1 qui correspond à la fin de la fusion de la glace. Ensuite la température augmente jusqu'à la température d'ébullition de l'eau ( 100 °C) qui se produit à l'instant t2.
Soit LF l'enthalpie massique de fusion de la glace. On admettra que pour l'eau, les capacités thermiques massiques restent constantes entre 0 et 100 °C. cp = cv = c.
En déduire LF en fonction de c, M, µ, mg, t0, t1 et t2.
Energie nécessaire à la fusion de la glace à 0°C : Q1 = mg LF.
Energie nécessaire pour faire passer l'eau de 0°C à 100 °C, l'eau restant liquide : Q2 =Mc Dq avec Dq = 100 °C.
Energie nécessaire pour faire passer le calorimètre de  0°C à 100 °C : Q3 =µc Dq.
Energie électrique fournie :  P(t2-t0).
Le système est adiabatique :
P(t2-t0) = Q1 +Q2 +Q3.
P(t2-t0) = mg LF + (M + µ)cDq.
LF = ( P(t2-t0) - (M + µ)cDq) / mg.
De plus  P(t2-t1) = (M + µ)cDq soit P = (M + µ)cDq / (t2-t1).
D'où :
LF = ( (M + µ)cDq / (t2-t1) (t2-t0) - (M + µ)cDq) / mg.
LF =(M + µ)cDq / mg ( (t2-t0) / (t2-t1) -1).
Une fois la température d'ébullition atteinte, la puissance de chauffage reste constante égale à P. L'ensemble du dispositif ayant été placé sur une balance, on suit l'évolution de la masse du calorimètre avec son contenu et ses accessoires jusqu'à ce que la masse totale soit réduite de ½M.  Soit t3 l'instant correspondant à cette perte de masse. Soit Lv l'enthalpie massique de vaporisation de l'eau.
Exprimer Lv en fonction de c, M, µ, t1, t2 et t3.
Energie nécessaire pour évaporer ½M kg d'eau à 100 °C : Q4 = ½M Lv.
Energie électrique correspondante : P(t3-t2).
Par suite :
½M Lv = P(t3-t2) ; Lv = 2P(t3-t2) / M
De plus  P(t2-t1) = (M + µ)cDq soit P = (M + µ)cDq / (t2-t1).
D'où :
Lv =2 (1 + µ/M)cDq / (t2-t1) (t3-t2).
A.N : M / mg = 10 ; mg = 100 g = 0,100 kg ; µ = 0,200 kg ; t1-t0 = 2 min = 120 s ; t2-t1 = 30 min = 1800 s ; t3-t2 = 67,5 min  =4050 s ; M = 1,00 kg ; c = 4180 J K-1 kg-1.
Calculer LF, Lv et P.
 
Lv =2(1 + 0,2)*4180*100 / 30 *67,5 =2,26 106 J kg-1.
LF =(1+0,2)4180*100 / 0,1 ( (32 / 30 -1) =3,34 105 J kg-1.
P =
(1+0,2) 4180*100 / 1800 = 279 W.

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Variation d'entropie.
Soient deux masses de même valeur m constituées du même amtériau de capacité thermique c ; l'une est à la température absolue T1 et l'autre est à la température T2. On les met en contact et les échanges thermiques ont lieu sans perte avec l'extérieur.
Au bout d'un temps suffisamment long, le système atteint l'équilibre thermique.
Quelle est alors la température T des deux masses ?
Energie cédée par la masse chaude : mc(T-T2).
Energie gagnée par la masse froide :
mc(T-T1).
Le système est adiabatique :
mc(T-T2)+ mc(T-T1)= 0 ; T-T2 + T-T1 = 0 ; T = ½(T2 + T1).
La transformation est-elle réversible ou irréversible ? Expliquer.
La transformation s'effectue lentement
mais le système ne peut pas « revenir en arrière » de façon spontanée : la transformation est donc irréversible.
Calculer la variation d'entropie du système constitué par les deux masses au cours de cette transformation et montrer qu'elle est positive.
DSsyst = DS échangée + S créée.
DS échangée avec l'extérieur est nulle, le système étant adiabatique.
L’entropie est une fonction d’état, le calcul de sa variation 
DSsyst entre les états initial et final sera toujours effectuée le long d’un chemin réversible entre ces deux états.

Montrons que
(T1+T2)2 > 4 T1T2.
(T1+T2)2 >0 ; T12+T22+2T1T2 > 0 ; (T1+T2)2  -4T1T= T12+T22-2T1T2 =(T1-T2)2 >0.
Le contenu du logarithme étant supérieur à 1 et c étant positif, c ln (
(T1+T2)2 /(4T1T2)) >0.
 







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