Aurélie 02/10/12
 

 

 Vaisseau spatial dans un champ newtonien : concours ITPE 2012.

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On considère un vaisseau assimilé à un point matériel noté P, de masse m, mobile par rapport à un astre de masse M, de centre O et de rayon R. Le champ de gravitation de cet astre est à symétrie sphérique. La constante de gravitation est notée G. La distance entre le vaisseau et le centre de l'astre est notée r > R. On se placera dans le référentiel ( supposé galiléen ) lié à l'astre. Sauf mention contraire, le meteur de la fusée est éteint, c'est à dire que le vaisseau est en vol balistique.
Montrer que le moment cinétique ( calculé en O) du vaisseau est une constante du mouvement.
L'interaction de type newtonienne s'exprime sous la forme k/r2. ( k est une constante). Les forces newtoniennes sont des forces centrales. Ecrire le théorème du moment cinétique en O :

Cette constance de L0 a deux conséquences sur la trajectoire du vaisseau. Lesquelles ?

Le moment cinétique étant un vecteur constant,
la trajectoire est plane, contenue dans un plan perpendiculaire au vecteur moment cinétique.
La trajectoire est parcourue suivant la loi des aires. Dans un mouvement à force centrale, le rayon vecteur balaie des aires égales pendant des durées égales.
Donner l'expression du champ gravitationnel crée par un astre en un point P extérieur à l'astre à la distance R de O.

Quelle est l'expression de l'énergie potentielle Ep du vaisseau en la choisissant nulle à l'infini ? Que devient cette expression au niveau du sol ?
A la distance r de O : Ep = -GMm / r. Au niveau du sol :  Ep sol = -GMm / R.
Or g0 = GM/R2  ; 
GMg0 R2Ep sol =- g0 R2m / R = -g0 R m.
Dans le cas d'une orbite circulaire de rayon r0, exprimer l'énergie mécanique Em du vaisseau et sa période de révolution Trev en fonction de g0, R, r0 et, si nécessaire de m. Commenter le signe de Em.
Dans le cas d'une orbite circulaire, le mouvement est uniforme, la norme de la vitesse est constante.
Energie cinétique : Ec = ½mv2  avec v2 = GM/r0
Ec = ½mGM/r0 ;
Em = Ep+Ec
-GMm / r0½mGM/r0  = -½mGM/r0.
Le satellite décrit la circonférence 2pr0 à la vitesse v en Trév secondes.
2pr0  = v Trév  =(GM/r0)½ Trév Trév  = 2p r01,5 /(GM)½.
L'énergie mécanique est négative : le satellite reste lié à la terre.
Dans le cas de la terre, on considère une masse m = 1 kg, initialement au repos à la surface de la terre ( R = 6400 km), puis placée en orbite circulaire de rayon r0 = 7000 km. En prenant g0 = 10 m s-2, évaluer numériquement la différence d'énergie mécanique DEm entre ces deux états.
Au niveau du sol : EM sol
-½mGM / R ; à l'altitude h = 7000 km :  EM h-½mGM / r0.
 DEm = EM h- EM sol= -½m GM( 1/r0- 1/R) = ½m GM (r0-R) / (r0R).
Or g0 R2 = GM : 
 DEm =½m g0 R(r0-R) / r0.
DEm =0,5 *10*6,4 106 *6,0 105 / (7,0 106 ) =2,7 106 J ou  2,7 106 / ( 3,6 106) ~ 0,75 kWh
1 kWh électrique revient environ à 0,15 € ; en déduire numériquement le coût théorique de la satellisation d'un kg de charge utile. Le coût réel est de l'ordre de 1000 € par kg. Commenter ces valeurs.
Coût théorique ~ 0,10 €, très nférieur à 1000 €.
Dans la réalité il faut prendre en compte les frottements sur les couches d'air de l'atmosphère lors du lancement de la fusée. Il faut de plus propulser la fusée, carburant, comburant et prendre en compte le coût du matériel.
 

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On peut montrer que la trajectoire d'un vaisseau ( moteur coupé ) dans le champ gravitationnel de l'astre est une conique, d'équation polaire 1/r = (1+e cos q) p,où e est l'exentricité de la conique et p le paramètre. On se limitera ici au cas où la trajectoire est fermée, donc elliptique.
Dessiner l'allure de la trajectoire du satellite en plaçant l'astre attracteur, l'apogée, le périgée. Exprimer le demi-grand axe "a" en fonction de e et p.

A : apogée ; P : périgée.
rapogée = p / (1-e) et r périgée = p / (1+e)  ; a = ½(rapogée+r périgée) = ½p( 1/(1-e) +1/(1+e) = p/(1-e2).
Donner l'expression de la 3ème loi de Kepler.
T2/a3 = 4p2/(GM).
Supposons qu'à une distance r0 du centre de l'astre, la norme V de la vitesse d'un vaisseau soit le même que pour une orbite circulaire mais que l'angle a entre le support de la vitesse et la tangente au cercle de centre O et de rayon r0 appartienne à [0 ; ½p]. Quelle est la nature de la trajectoire du vaisseau ?
La vitesse et la distance sont identiques à celle d'un mouvement circulaire : l'énergie est donc la même. La trajectoire sera elliptique de demi-grand axe a = r0.
En utilisant la relation entre le demi-grand axe "a" de la trajectoire et l'énergie mécanique du vaisseau, déterminer l'expression de "a" en fonction de r0 et a.
Le point de la trajectoire étant à la distance "a" du foyer de l'ellipse, il se trouve sur l'un des sommets du petit axe de l'ellipse.

e = c / a = OF / BF = sin a ;  or a = p/(1-e2) ; rA = a+c = a(1+e) ; rP = a-c = a(1-e) ; a = r0.
Par suite p = r0(1-sin2a) =
r0 cos2a ; rA = r0(1+sin a) ; rP = r0(1-sin a).
Quelle est l'expression de la constante des aires  de la trajectoire, notée C, en fonction de r0, V et a ? En utilisant l'expression du paramètre p de la conique en fonction de la constante des aires, g0 et R, déterminer l'expression de p en fonction de r0 et a.
En utilisant l'expression de"a" en fonction de p et de l'excentricité e de la trajectoire, déterminer l'expression de e en fonction de r0 et a.
En utilisant les expressions des distances rA du centre O à l'apogée et rP du centre O au périgée, en fonction du paramètre e et du paramètre p, déterminer les expressions de rA et rP
en fonction de r0 et a.

Vitesse de libération.
Le vaisseau est initialement sur une orbite circulaire de rayon r0 décrite à la vitesse V0. On allume le moteur pendant un temps très court, de sorte que la vitesse varie mais pas la distance au centre de l'astre.
Evaluer la vitesse V1 minimale qu'il faut communiquer au vaisseau pour qu'il échappe au champ gravitationnel de l'astre en fonction de G, M et r0.
Si l'énergie mécanique du vaiseau devient positive, ce dernier échappe au champ gravitationnel de l'astre.
½mV12-GMm/r0 >=0 ; V1 >= (2GM / r0)½.
Le commandant de bord dispose d'un "budget de vitesse " DV = 4V0 ; cela signifie que la quantité de carburant disponible lui permet de faire varier la vitesse du vaisseau, en une ou plusieurs fois, pourvu que la somme des valeurs absolues des variations de vitesse n'excèdent pas 4 V0.
Option 1 : le commandant utilise tout son budget d'un seul coup en amenant sa vitesse initiale à 5 V0.
Evaluer sa vitesse finale à l'infini en fonction de V0.
Conservation de l'énergie mécanique entre l'instant de départ et l'infini :
½m(5V0)2-GMm / r0  = ½m V2infini.
Or sur une orbite circulaire : mV02/r0 = GMm/r02 ou
GMm / r0  =mV02.
Par suite :
½m(5V0)2-mV02 = ½m V2infini ; 23 V02= V2infini ; Vinfini = (23V0)½.
Option 2 : on utilise 1/8è du budget pour ralentir le vaisseau de V0 à ½V0 en un temps très court devant la période, le vecteur vitesse gardant la même direction.
Décrire la nouvelle trajectoire : le demi-grand axe "a", les distances rA et rP, les normes des vitesse VA et VP en fonction de r0. Quelle condition doit vérifier rP ?
A une distance égale au grand axe, l'énergie mécanique est égale à l'énergie potentielle.
Conservation de l'énergie mécanique : ½m(0,5 V0)2-mGM/r0 =- mGM / (2a).
Or sur une orbite circulaire : mV02/r0 = GMm/r02 ou GMm / r0  =mV02.
D'où :
GMm / (8r0-mGM/r0 =- mGM / (2a) soit : 1/ r0 -1/ (8r0) = 1 / (2a) ; 7/(8r0) = 1 / (2a) ; 7/(4r0) = 1 / a ; a = 4r0/7.
Au périgée et à l'apogée le rayon vecteur est perpendiculaire à la vitesse. Le point de départ de la manoeuvre est l'apogéee : rA = r0 ; VA = ½V0.
2a = rP + rA ;
rP = 8r0/7-r0  = r0/7.
Conservation  du moment cinétique entre l'apogée et le périgée : rAVA = rPVP ; VP = r0 ½V0 / (r0/7) = 3,5 V0.
Il faut bien sûr que le rayon de l'astre soit inférieur à rP pour éviter l'impact sur la planète.

On utilise ensuite le reste du budget vitesse au passage au périgée pour augmenter au maximum la vitesse du vaisseau. Justifier la nouvelle trajectoire et déterminer la vitesse finale  ( à l'infini )en fonction de V0.
Conservation de l'énergie entre le périgée et l'infini :
½m(7V0)2-GMm / (r0/7)  = ½m V2infini.
Or sur une orbite circulaire : mV02/r0 = GMm/r02 ou
GMm / r0  =mV02.
Par suite :
½m(7V0)2-7mV02 = ½m V2infini ; 35 V02= V2infini ; Vinfini = (35V0)½.
L'énergie du vasiseau étant devenu positive, la nouvelle trajectoire est une branche d'hyperbole.
Comparer les deux options et commenter.
L'option 2 permet d'obtenir une vitesse plus importante à l'infini. Il est plus efficace de produire une variation de vitesse près d'un astre que très loin de lui.

 







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