Aurélie 26/09/12
 

 

 Fibre optique à saut d'indice : concours ITPE 2012.

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Phénomène de réflexion totale.
On considère un rayon lumineux, issu d'une radiation monochromatique, arrivant sur une interface plane séoarant deux milieux d'indices n1 et n2 sous un angle d'incidence i.
Enoncer la loi de Snell-Descartes.
Lois de Descartes relatives à la réflexion et à la réfraction de la lumière :


Les trois rayons incident, réfléchi et réfracté sont dans le même plan ; l'angle d'incidence i1 est égal à l'angle de réflexion r. Les angles d'incidence i1 et réfracté i2 sont reliés par la relation : n1 sin i1 = n2 sin i2.
Décrire le phénomène de réflexion totale. Calculer l'angle limite.
Lors du passage de la lumière d'un milieu d'indice n1 à un milieu d'indice n2 < n1, il existe un angle d'incidence limite ilim au dela duquel le rayon réfracté n'existe plus : seul le rayon réfléchi existe. 
n1 sin i1 = n2 sin i2  et |sin i2| inférieur ou égal à 1.
n1 sin ilim
n2 soit sin ilimn2 / n1.

Condition d'acceptance d'une fibre optique.
Une fibre optique à saut d'indice est constituée d'un coeur cylindrique d'indice nc et d'une gaine cylindrique d'indice ng entourant le coeur avec ng < nc. Un rayon situé dans le plan Oxy entre dans la fibre au point O avec un angle d'incidence q.

A quelle condition sur i, angle d'incidence à l'interface coeur-gaine, le rayon reste-t-il confiné à l'intérieur du coeur ?
sin ilimng / nc ; i doit être inférieur à ilim.
Montrer que la condition précédente induit une valeur limite qlim de q.

en I, dioptre air/coeur : nair sin qi = nc sin r ; sin qi = nc sin r (1).
en J, il y a réflexion totale : sin
ilimng / ncles angles i et r sont complémentaires soit sin r = cos i.
(1) donne : cos i = sin q / nc  ; sin q nc  cos i ; sin qlim nc  cos ilim
q doit donc être inférieur à qlim.
Un raisonnement identique peut être fait pour tous les plans Oxy, quelle que soit leur inclinaison par rapport au plan vertical. On dit qu'il existe un cône d'acceptance associé à la fibre permettant au rayon de se propager par réflexions totales dans la fibre.

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Propagation dans la fibre optique.
On considère une fibre optique de longueur L. Le rayon entrant dans la fibre respecte la condition établie dans la partie précédente.
Exprimer la vitesse de propagation de la lumière dans le coeur de la fibre.
v = c / nc avec c = 3,00 108 m/s.
On considère le rayon tel que q=0.
Calculer la durée de parcours t1 de ce rayon dans la fibre de longueur L.
 t1 = L / v = L nc / c.
On considère le rayon tel que q = qlim.
Calculer la durée de parcours t2 de ce rayon dans la fibre de longueur L.
Expression de la distance d parcourue par la lumière en fonction de son angle d'incidence
qi et de la longueur de la fibre L :
Figure ci-dessus, expression de IJ : ( on note h la projection de IJ sur l'axe de la fibre).

cos r = h / IJ; or sin
qi = nc sin r ; cos² r + sin² r = 1 ;
h² / IJ² +( sin qi / nc )² = 1 ; h / IJ = [1-( sin qi / nc )² ]½.
Le rapport entre la longueur L de la fibre et le trajet d suivi par la lumière est : L/d =[1-( sin qi / nc )² ]½
d = L[1-( sin
qi / nc )² ] soit pour l'angle qlim : d = L[1-( sin qlim / nc )² ] .
 t2 = d / v = d nc / c.
En déduire Dt = t2-t1.
Dt = nc L / c ( [1-( sin qlim / nc )² ] -1).
A.N : nc = 1,50 ; ng = 1,47 ; L = 1 km.
sin ilimng / nc  =1,47 / 1,50 = 0,98 ; ilim = 78,52.
 sin qlim nc  cos ilim = 1,50 *cos  78,52 = 0,2985.
Dt = 1,5 *103 / (3 108) ( [1-( 0,2985 / 1,5 )² ] -1) = 1,02 10-7 ~1 x 10-7s.
Quelle durée T doit séparer deux impulsions successives pour qu'elles ne se superposent pas à la sortie de la fibre ? En déduire une valeur limite D pour le débit de la fibre optique.
On souhaite transmettre une suite de 0 ( la source lumineuse envoie un très bref éclair puis attend une durée T =Dt ) et de 1 ( pas de lumière pendant la même durée ), la fréquence maximale de transmission d'une ligne de longueur 1 km est : il ne faut pas que deux signaux consécutifs se superposent à la sortie d'où la fréquence maxi : 1/ (1,02 10-7) = 9,8 106 ~ 1 x 107 Hz.
 







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