Aurélie 05/10/12
 

 

Le sismographe de Lacoste : Agrégation  2012.

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 Le sismographe est solidaire d'un bâti. Il permet d'enregistrer fidèlement des signaux de période importante.

La tige WA, de masse négligeable, peut tourner librement autour de l'axe Wx. A l'extrémité A de cette tige est accroché un disque (D) de masse m assimilé à un point matériel. Un ressort de masse négligeable, de constante de raideur k, de longueur à vide nulle relie l'extrémité A de la tige à l'extrémité B d'une autre tige métalique WB, immobile par rapport au bâti. L'angle fixe entre la tige WB et la verticale ascendante Wz est noté a. Le ressort AB est toujours rectiligne.
Les longueurs des tiges sont respectivement WB = d et WA = l.
L'angle q entre l'axe Wy et la tige WA peut varier entre -½p et ½p-a.
Dans un premier temps on suppose que a = 0.
Montrer que la condition d'équilibre du disque peut s'écrire : (kd-mg) cos q = 0.
Le disque est soumis à son poids et à l'action du ressort. A l'équilibe :

A quelle condition la position q=0 est-elle position d'équilibre ? Comment qualifier cet équilibre ?
L'équilibre est obtenu pour cos q = 0 soit q = ½p, ou pour kd= mg.
Si q = 0 est choisit comme position d'équilibre, alors kd = mg et la condition d'équilibre ci-dessus est vérifiée quel que soit l'angle q : l'équilibre est dit indifférent.

Dans la pratique, la condition précédente ne peut jamais être exactement réalisée et le dispositif se stabilise en q =± ½p.
Déterminer l'énergie potentielle du système disque-ressort en fonction de q.
Ep ressort = ½kAB2 + constante 1.

Ep ressort = -kld ( sin a cos q + cos a sin q) + constante 2.
 Ep ressort = -kld  sin( a + q ) + constante 2.
Exprimer l'énergie potentielle de pesanteur du disque en fonction de q.
Ep pesanteur = mg l sin q + constante 3.
Montrer que la position q=0 est une position d'équilibre pour le disque à condition que cos a = mg/ (kd). Par la suite cette condition sera supposée vérifiée.
L'énergie potentielle doit présenter un minimum. Dériver
Ep ressort + Ep pesanteur  par rapport à q et vérifier que q=0 annule cette dérivée.
Ep totale = -kld  sin( a + q ) + mg l sin q + constante 4.
d
Ep totale /dq = -kld  cos( a + q ) + mg l cos q   ;
[dEp totale /dq ]q=0 = -kld  cos( a ) + mg l  ;
Cette dérivée est nulle si 
cos a  = mg / (kd).



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Etablir l'équation différentielle associée au mouvement du disque autour de la position d'équilibre q=0.
L'origine de l'énergie potentielle est choisie pour q = 0.

Ep totale -kld ( sin a cos q + cos a sin q) + mg l sin q  + constante 4 d'où constante 4 = kld  sin a.
De plus au voisinage de q=0 : 
cos q ~1-½q2 et sin q ~q.
Ep totale ~ -kld ( sin a ( 1-½q2) + cos a  q) + mg l  q  +kld  sin a.
Ep totale ~ ½kld sin a q2 + q l ( mg-kd) = ½kld sin a q2 .
Conservation de l'énergie mécanique du système : ½kld sin a q2 + ½ml2(dq/dt)2 = Constante.
Dériver par rapport à q
kld sin a q dq/dt + ml2d2q/dt2 (dq/dt)=0.
Simplifier : kd sin a + ml d2q/dt2 =0.
Montrer que la pulsation des oscillations de petites amplitude du disque s'exprime sous la formew1 = (g tan a / l)½.
L'équation différentielle est celle d'un oscillateur harmonique : w12 =
kd sin a / (ml).
Or
cos a  = mg / (kd) d'où : w12 = g tan a / l.
Le dispositif est soumis à une secousse sismique au cours de laquelle le mouvement vertical du sol est toujours décrit par une vibration de la forme Zs(t) = Z0 cos (wt).
On admet qu'en présence d'un dispositif amortisseur semblable à celui du sismographe simple, l'équation différentielle associée au mouvement du disque peut s'écrire sous la forme :
avec z = lq.
Expliquer l'intérêt de ce dispositif par rapport au sismographe simple. Proposer des v de l'angle a et de l pour étudier des ondes sismiques de période 10 s.
Si w >> w1 le mouvement du disque reproduit les déplacements du sol.
Or
w1 = (g tan a / l)½. Un un angle a faible permet d'enregistrer des secousses sismiques de grandes périodes.
Pour
w = 3 w1  : 2p (l / (g tan a))½ ~ 30 soit  l /  tan a ~302 g / (4 p2) ~225.
Pour l = 1 m, a ~0,25 °.



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