Aurélie 05/07/11
 

 

    Etude d'un sismographe : concours orthoptie Nantes 2011.

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La figure est une représentation simplifiée d'un sismographe. La masse m accrochée à l'extrémité du ressort, de constante de raideur k, est ponctuelle ( M). Une pointe solidaire de M permet d'enregistrer les mouvements de M sur un cylindre, de rayon R, tournant à la vitesse angulaire W. On obtient ainsi sismographe.


Etude du système en absence de secousse sismique.
Le système est à l'équilibre.
Déterminer la longueur du ressort AM notée Léq en fonction de L0, m, k et g.

à l'équilibre : mg = k(Léq-L0) ; Léq = mg / k +L0.




On écarte la masse de sa position d'équilibre.
Déterminer l'équation que doit satisfaire Z avec OM= Z + Léq.
Le référentiel d'étude est lié au sol.
On choisit un axe vertical orienté vers le bas, avec l'origine à la position d'équilibre. On applique la seconde loi de Newton au système  { masse + ressort }.

mg-k(L-l0)= m d²Z/dt²

mg-k( Léq +Z-l0)= m d²Z/dt²

mg-k( Léq -l0) - kZ =m d²Z/dt² ; or mg = k(Léq-L0)

m d²Z/dt² + k Z=0  ; d²Z/dt² + k / m Z=0(1)


Montrer que Z(t) peut s'écrire Z(t) = a sin (w0t+f). Déterminer w0 en fonction de m et k.
Z(t)=a sin(Bt
+f) ou B et f sont des constantes positives non nulles :
Calcul de B pour que
Z(t) = a sin (w0t+f) soit solution de l'équation différentielle.
Dériver deux fois Z(t) par rapport au temps :
Z(t) = a sin (Bt+f). Z'(t) = AB cos(Bt+f) ; Z"(t) = -AB2 sin(Bt+f) = -B2 Z(t).
Repport dans (1) :
-B2 Z(t) + k / m Z(t) = 0 est vérifiée quel que soit le temps si  B2= k/m
Pulsation
w0 ( rad s-1) :
w0 = [k/m]½ d'où l'écriture de (1) : d²Z/dt² + w20 Z = 0 ou Z" +w20 Z =0. (1)
Déduire graphiquement la période d'oscillation T0.
On donne 2 p R =0,50 m et W = 0,02 rad/s.


Le cylindre effectue un tour ( 2 p R = 0,50 m ) en : 2 p / W = 2 p /0,02 = 100 p secondes.
Le cylindre effectue 20/50=0,4 tour  en T0 = 0,4 *100 p  = 40 *3,14 =125,66 ~1,3 102 s.
Calculer la valeur numérique du rapport k/m en précisant l'unité.
w0 = 2p/T0 = 6,28 / 125,66= 0,050 rad/s.
w20 = k/m = 0,052 =0,3947 ~2,5 10-3 s-2.



Etude du système en présence de secousse sismique.
Lors d'une secousse sismique, l'extrémité du ressort A est soumise à un mouvement d'oscillation zA(t) = a cos (wt). La position de la masse sera toujours notée OM = Léq + Z(t).

Etablir que l'équation que doit satisfaire Z(t) devient m Z" +kZ =kzA(t).
Tension du ressort T= k( L-L0-zA) ; mg-k( L-L0-zA)= m d²Z/dt² ; mg-k( Léq +Z-l0) + kzA= m d²Z/dt²
or mg = k(Léq-L0) ; -kZ+ kzA= m d²Z/dt²
 d²Z/dt² + k/ m Z=k/ m zA (2) Cela revient à ajouter le terme k/m zA =w20 zA au second membre de l'équation différentielle précédente.
La solution s'écrit Z(t) = Zmax cos (wt).
Exprimer Zmax en fonction de k, a, m et w puis en fonction de a, w et w0.
Z'(t) = -Zmax w sin (wt) ; Z"(t) = -Zmax w2 cos (wt) ; repport dans (2) :
-Zmax w2 cos (wt) + k/ m Zmax cos (wt) = k/m a cos (wt).
-Zmax w2  + k/ m Zmax  = k/m a.
Zmax(k/m -w2) = k/m a ; Zmax = k/m a / (k/m -w2) =a w20 / (w20 -w2).
Que se passe t-il lorsque w est proche de w0 ? Comment appelle t-on ce phénomène ?
Si w ~w0, on observe un phénomène de résonance. L'amplitude Zmax devient très grande.






L'enregistrement sur le cylindre correspond  à Z(t)-zA(t). Justifier .
Le cylindre d'enregistrement et le dispositif masse + ressort sont liés au bâti du sismomètre, donc au sol.
Un mouvement du sol  entraîne un mouvement du bâti, puis un mouvement relatif entre la masse M et le bâti.


Un bon sismographe permet d'enregistrer fidèlement le mouvement d'oscillation du sol, ainsi Z(t)-zA(t) doit être aussi proche de -zA(t) quelle que soit la pulsation du séisme. Les périodes d'oscillation des secousses sismiques sont comprises entre 1 à 10 s.
Montrer numériquement que le sismographe étudié satisfait à cette condition.
La période propre de l'oscillateur est de l'ordre d'une centaine de secondes, soit 10 à 100 fois plus grande que les périodes d'oscillation des secousses.
 Le ressort doit revenir le plus rapidement possible à sa position d'équilibre ( sans osciller périodiquement) afin d'être capable d'enregistrer les secousses suivantes. Le sismographe est équipé d'un système d'amortissement.
Le système solide S+ ressort et amortisseur est un oscillateur apériodique. 

L'épicentre est le point source des ondes sismiques. La planète est parsemée de sismographes.
Comment détermine t-on l'épicentre d'un séisme ?
Ces ondes de choc se propagent en cercles concentriques à partir du foyer et de l'épicentre, diminuant d'intensité à mesure qu'elles s'en éloignent. Les sismomètres enregistrent  les secousses à des dates différentes. Connaissant la vitesse de propagation des ondes sismiques, on peut déterminer la distance d entre l'épicentre et le sismomètre.
A partir de chaque sismomètre on trace des cercles de rayon d. L'intersection des cercles donne l'épicentre.








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